1、2.2 圆与方程 2.2.1 圆的方程 第1课时 圆的标准方程 同学们，你们坐过摩天轮吗？登高而望远，不亦乐乎。世 界上最巨大的摩天轮是坐落 于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺对于 这些摩天轮，我们如何通过 建立平面直角坐标系，利用 方程的知识来度量摩天轮呢？生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就一起来认识一下圆吧！思考1.什么样的点集是圆？提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合就是圆，定点就是圆心，定长就是圆的半径.思考2.一个圆中，圆心和半径的作用分别是什么？提示：圆心决定了圆的位置，半径决定了圆的大小.CrPyOxar3.b如何思考的求圆心为C（，），半径为 的圆方程.
2、22222.图设点为圆为径圆点，则两点间P xyC abrCPrxaybrxaybr如所示，（，）是以（，）心，半的上的任意一由的距离公式得（）（），即（）（）（1）解：过来点标则这说点为圆为径圆xyxaybrxaybrxyabr111222112211111反，若P的坐（，）是方程（1）的解，（）（），即有（）（）.明P（，）在以C（，）心，半的上.xaybrrabr222方程（）（）（0）叫做以点（，）为圆心，为半径的圆的标准方程.22200abxyr地特别，如果圆的圆心在坐标原点，即，那么此时圆的标准方程就是圆的标准方程 解:因为圆心为A(2,-3),半径长等于5所求的圆的标准方程是 写
3、出圆心为A(2,-3),半径长等于 5的圆的方程。22(2)(3)25.xy【即时训练】想一想：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有几个待确定的量?要求它们需几个独立的条件？提示：三个待确定的量a,b,r；要求它们需三个独立的条件.例1.(2015北京高考改编)圆心为(1,1)且过原点的 圆的方程是 方法一：解析：半径 r=22(1 0)(1 0)2,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2 答案：(x-1)2+(y-1)2=2(x-1)2+(y-1)2=2 几何法 方法二：解析：设圆的标准方程为 因为该圆经过原点 所以可将 代入方程 解得 所以圆的标准方程为 222)1(
4、)1(ryx0,0yx22 r2)1()1(22yx待定系数法 解：根据已知条件，圆心C（a,b)是M1M2的中点，那么它的坐标为 变式练习：已知两点M1(4,9)和M2(6,3)，求以M1M2为直径的圆的方程.46935,622ab+=所求圆的方程为圆的半径为212rC(45)(96)1M0=-+-=22(5)(6)10 xy-+-=温馨提示：中点坐标：A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为1212(,)22xxyy例2 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且 圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标 准方程.xyOCA(1,1)B(2,-2):10l
5、xy 圆心C：两条直线的交点半径CA：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2):10l xy 弦AB的垂直 平分线 例2 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在直线l：x y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程Dl解：方法一（几何法）：因为A(1,1)和B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标为 31(,),22 直线AB的斜率:2 132 1 ABk，因此线段AB的垂直平分线l的方程是 113()232yx，即x-3y-3=0.xyOCA(1,1)B(2,-2):10l xy Dl解方程组 33010 xyxy，得 3,2.xy 所以圆心C的坐标是(3,2)，圆
6、心为C的圆的半径长 22|(1 3)(1 2)5.rAC所以，圆心为C的圆的标准方程是 22(3)(2)25.xy方法二（待定系数法）：设所求圆的标准方程为 由条件知 解得 故所求圆的标准方程为：222)()(rbyax222)()(rbyax222rbyax012211222222barbarba523rba252322yx圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)F变式练习：的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程 ABCDE变式练习：的三个顶点的坐标分别A(5,1)、B(7,3)、C(2,8)，求
7、它的外接圆的方程 ABC解：设所求圆的方程是(1)222)()(rbyax 因为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）于是222222222)8()2()3()7()1()5(rbarbarba待定系数法235abr 所求圆的方程为25)3()2(22yx【提升总结】确定圆的标准方程的方法(1)几何法（利用平面几何知识确定圆心和半径）.(2)待定系数法 一般步骤为:根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;根据已知条件,建立关于a,b,r 的方程组;解方程组,求出a,b,r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.你快想？你快做！圆的标准方程推导步骤特点求法建系设点写条件列方程化简说明 圆心(a,b)、半径r几何法、待定系数法
