1、3.3.2抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是()A.y2=8x或x2=8yB.y2=-8x或x2=-8yC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+|BF|的值()A.等于8B.等于7C.等于5D.随A,B两点坐标变化而变化3.(2022北京二中高二月考)抛物线C:y2=2px(p0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=12xD.y2=16x4.已
2、知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是()A.2B.3C.4D.05.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则()A.曲线C的标准方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d26.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽42米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为;水面下降1米后,水面宽米.图1图27.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.若OA
3、B的面积等于4,则抛物线的标准方程为.8.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l:y=x+n(n0)与抛物线C交于A,B两点,且OAOB(O为坐标原点),求n的值.B级关键能力提升练9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是()A.32B.43C.34D.110.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为()
4、A.y2=32xB.y2=3xC.y2=92xD.y2=9x11.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若OFM=120,则|FM|等于()A.2B.433C.23D.412.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.C的准线方程为x=-1B.线段AB的长度的最小值为4C.M的坐标可能是(3,2)D.存在直线l,使得OA与OB垂直13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是.14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率
5、为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.C级学科素养创新练15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切.(1)求E的标准方程;(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PAPB.参考答案3.3.2抛物线的简单几何性质1.C当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p0),可得2p=8,解得
6、p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.所以所求抛物线的标准方程为y2=8x.故选C.2.A设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.3.B抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1-p2=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B.4.B因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x0.因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,最小值为3.故选B.5.AB由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准
7、线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y0,故C错误;点P到直线l的距离d1,故D错误.故选AB.6.x2=-4y43设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),由已知抛物线经过点(22,-2),可得8=-2p(-2),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.当y=-3时,x2=12,解得x=23,所以当水面下降1米后,水面宽43米.7.y2=42x由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则焦点Fp2,0,直线l:x=p2,|AB|=2p.因为OAB的面积为SOAB=12p22p=4,所以p=22.所以抛物线的标准方程为y
8、2=42x.8.解(1)由题意可得2m=2,2pm=4,解得m=1,p=2.故抛物线C的标准方程是y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=4x,y=x+n,整理得y2-4y+4n=0,=16-16n0,n0),解得p=32(负值舍去).故抛物线的标准方程为y2=3x.故选B.11.D抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设点M的坐标为y24,y,OFM=120,y241,|y|=3y24-1,整理得3y2-4|y|-43=0.解得|y|=23(负值舍去),|FM|=23sin60=4.故选D.12.ABC由已知可得p=2,所以抛物线的标准方程为
9、y2=4x,则点F(1,0),准线的方程为x=-1,故A正确;当ABx轴时,AB的长度取最小值,令x=1,代入抛物线方程解得y=2,所以AB的长度的最小值为4,故B正确;设直线l的方程为x=my+1,A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),将x=my+1代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,=16(m2+1)0,则yA+yB=4m,所以xA+xB=m(yA+yB)+2=4m2+2,xM=2m2+1,当m=1时,可得M(3,2),故C正确;因为yAyB=-4,所以xAxB=1,所以OAOB=xAxB+yAyB=1-4=-3,所以OAOB0,故D错误.故选ABC.13.(1,1)设
10、抛物线y=x2上一点为A(x0,x02),点A(x0,x02)到直线2x-y-4=0的距离d=|2x0-x02-4|5=55|(x0-1)2+3|,当x0=1时,抛物线x2=y上一点到直线2x-y-4=0的距离最短,此时点A的坐标为(1,1).14.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32.又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=52.联立y=32x+t,y2=3x,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,=144(t-1)2-144t2=144(1-2t)0,t0,t0),与直线y=x+1联立,可得x2+(2-2p)x+1=0,由=(2-2p)2-4=0,解得p=2(p=0舍去).所以抛物线的标准方程为y2=4x.(2)证明易知过点P的两条切线斜率存在且不为0,设P(-1,m),切线的方程为y-m=k(x+1),与y2=4x联立,可得ky2-4y+4k+4m=0,由=0,即16-16(k+m)k=0,整理得k2+km-1=0,易知方程有两个不相等的实数根,设为k1,k2,所以k1k2=-1,即PAPB.
