1、2.4点到直线的距离A级必备知识基础练1.点(2,5)到直线y=2x的距离为()A.55B.255C.355D.52.已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2之间的距离为()A.15B.55C.35D.3553.点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则点P的坐标是()A.(2,0)B.(0,2)C.-12,0D.(2,0)或-12,04.平面上到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=05.(202
2、2山东德州夏津一中高二上月考)已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为12,则a=.6.若直线l与直线x-2y+4=0平行,且直线l到直线x-2y+4=0的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是.7.已知A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,则a的值为.8.已知直线l经过点(-2,3),且原点到直线l的距离等于2,求直线l的方程.B级关键能力提升练9.已知P,Q分别为直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0上的两个动点,则线段PQ的长度的最小值为()A.35B.1C.65D.210.已知直线l过点Q(1,2),且点P(0,4)到直线l的距离为2,则
3、这样的直线l的条数为()A.0B.1C.2D.311.(2022山东巨野实验中学高二月考)已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为()A.-3B.-3或3C.-1D.-1或112.(多选题)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着点A,B同时旋转(旋转过程两直线保持平行),如果两条平行直线间的距离为d,则d的值可以为()A.3B.12C.10D.513.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为.14.已知ABC三边所在直
4、线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(mR,m30).(1)判断ABC的形状;(2)当BC边上的高为1时,求m的值.15.(2022江苏南京六校高二联考改编)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的三个顶点A(m,n),B(2,1),C(-2,3),且BC边上中线AD的方程为x-2y+t=0(tR).(1)求t的值;(2)若点A到直线BC的距离为455,求中线AD的长度.C级学科素养创新练16.(2022安徽淮北一中高二月考)设实数x,y满足x+y=4,则x2+y2-2x+2y+2的最小值为()A.2B.4C.22D.817.已知点A(-1
5、,1),B(3,5),若点A,B到直线l的距离都为2,求直线l的方程.参考答案2.4点到直线的距离1.A直线y=2x可化为2x-y=0,由点到直线的距离公式得|22-5|22+(-1)2=15=55.故选A.2.D由l1l2得,a=-12,则直线l1的方程为x-12y-1=0,整理可得直线l1:2x-y-2=0,所以直线l1与l2之间的距离d=|-2-1|22+(-1)2=35=355,故选D.3.D设P点坐标为(x,0),则点P到直线4x-3y-3=0的距离d=|4x-3|42+(-3)2=1,解得x=2或x=-12,故点P的坐标为(2,0)或-12,0,故选D.4.D依题意知,所求点的轨迹
6、为直线,且与直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0(C-1),根据两条平行直线间的距离公式,得|C+1|32+42=|C+1|5=2,解得C1=-11或C2=9,故所求点的轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.5.33由点到直线的距离公式得|3+a-3|1+a2=12,解得a=33.6.x-2y+2=0设所求直线l的方程为x-2y+C=0,则|C-4|12+22=|C|12+22,解得C=2,故直线l的方程为x-2y+2=0.7.8因为A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,所以(a-0)2+(-5-10)2=17,解得a=8.8.解当直
7、线l的斜率不存在时,则直线l的方程为x=-2,符合原点到直线l的距离等于2;当直线l的斜率存在时,设所求直线l的方程为y-3=k(x+2),整理得kx-y+2k+3=0.由点到直线的距离公式得d=|0-0+2k+3|1+k2=2,得k=-512,即直线l的方程为-512x-y+136=0,整理得5x+12y-26=0.故所求直线l的方程为x=-2或5x+12y-26=0.9.B由题可知直线l1与l2平行.当线段PQ的长度等于两平行线间的距离时,线段PQ的长度最小,则直线l1与l2之间的距离为|1-(-4)|32+42=1,故线段PQ的长度的最小值为1,故选B.10.C因为直线l过点Q(1,2)
8、,且|PQ|=(1-0)2+(2-4)2=52,所以满足条件的直线l有2条.故选C.11.B由点到直线的距离公式得|-2a-4+1|a2+1=|a+5+1|a2+1,即|2a+3|=|a+6|,解得a=3.故选B.12.AD如图所示,显然有0d|AB|,而|AB|=(6+3)2+(2+1)2=310,故所求的d的变化范围为(0,310.则d的值可以是3,5,故选AD.13.32由题意知,直线l1与直线l2平行,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c-7且c-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,故点M到原
9、点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即|-6|2=32.14.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=32,直线AC的斜率为kAC=-23,所以kABkAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此ABC为直角三角形.(2)解方程组3x-2y+6=0,2x+3y-22=0,得x=2,y=6,即A(2,6).由点到直线的距离公式得d=|32+46-m|32+42=|30-m|5.当d=1时,|30-m|5=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.所以m的值为25或35.15.解(1)由题知,线段BC的中点为D(0,2),代入中线AD的方程x-2y+t=0,得0-22+t=0,解得
10、t=4.(2)B(2,1),C(-2,3),直线BC的斜率为3-1-2-2=-12.故直线BC的方程为y-1=-12(x-2),整理得x+2y-4=0.由(1)知中线AD的方程为x-2y+4=0.点A(m,n)在中线AD上,把A点坐标代入得m-2n+4=0,又点A到直线BC:x+2y-4=0的距离为d=|m+2n-4|5=455,化简得|m+2n-4|=4,联立,解得m=2,n=3或m=-2,n=1.所以点A的坐标为(2,3)或(-2,1).当A(2,3)时,中线AD的长度为|AD|=(2-0)2+(3-2)2=5,当A(-2,1)时,中线AD的长度为|AD|=(-2-0)2+(1-2)2=5
11、.因此中线AD的长度为5.16.Cx2+y2-2x+2y+2=x2-2x+1+y2+2y+1=(x-1)2+(y+1)2,所以x2+y2-2x+2y+2表示直线x+y=4上的点与点(1,-1)的距离,所以其最小值为d=|1-1-4|12+12=22.故选C.17.解由题知,直线AB的斜率为5-13-(-1)=1,则直线AB的方程为y-1=x+1,整理得x-y+2=0.当直线l与直线AB平行时,设直线l的方程为x-y+m=0,因为点B到直线l的距离为2,则|m-2|2=2,解得m=222,故直线l的方程为x-y+2-22=0或x-y+2+22=0.当直线l过AB的中点(1,3)时,若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-1),整理为kx-y+3-k=0,点A到直线l的距离为|2-2k|k2+1=2,解得k=0,故直线l的方程为y=3;若直线l的斜率不存在,直线l的方程为x=1.综上,直线l的方程为x-y+2-22=0或x-y+2+22=0或y=3或x=1.
