1、2.3.2离散型随机变量的方差A组1.已知X的分布列为X1234P则D(X)的值为()A.B.C.D.解析:E(X)=1+2+3+4,D(X)=.答案:C2.已知随机变量X+Y=8,若XB(10,0.6),则E(Y),D(Y)分别是()A.6,2.4B.2,2.4C.2,5.6D. 6,5.6解析:XB(10,0.6),E(X)=100.6=6,D(X)=100.6(1-0.6)=2.4.又X+Y=8,Y=8-X.E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2,D(Y)=D(-X+8)=D(X)=2.4.答案:B3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为:X1(甲得分)0
2、12P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好()A.甲B.乙C.甲、乙均可D.无法确定解析:E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.120.2+0.120.5+0.920.3=0.49,D(X2)=1.120.3+0.120.3+0.920.4=0.69,D(X1)D(X2),即甲比乙得分稳定,甲运动员参加较好.答案:A4.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量X=则X的方差D(X)等于()A.mB.2m(1-m)C.m(m-1)D.m(1-m)解析:随机变量X的分布列为X01P1-mmE(X)=0(1-m)+1m
3、=m.D(X)=(0-m)2(1-m)+(1-m)2m=m(1-m).答案:D5.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,n,且E(X)=24,则D(X)的值为()A.8B.12C.D.16解析:由题意可知XB,E(X)=n=24.n=36.D(X)=36=8.答案:A6.已知某离散型随机变量X服从的分布列如下,则随机变量X的方差D(X)=.X01Pm2m解析:由分布列知m+2m=1,m=.E(X)=1.D(X)=.答案:7.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为.解析:
4、X的分布列为X135P则E(X)=1+3+5,D(X)=.答案:8.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,求D(X).解:由题知X=6,9,12.P(X=6)=,P(X=9)=,P(X=12)=.X的分布列为X6912PE(X)=6+9+12=7.8.D(X)=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.9.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,7
5、00,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.解:(1)由已知条件和概率的加法公式有P(X300)=0.3,P(300X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2.P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=00.3+20.4+60.2+100.1=3,D(Y)=( 0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3
6、)20.2+(10-3)20.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,P(X300)=1-P(X300)=0.7,又P(300X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得P(Y6|X300)=P(X900|X300)=.故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是.B组1.已知随机变量X的分布列为xmnPa若E(X)=2,则D(X)的最小值等于()A.0B.2C.4D.6解析:依题意得a=1-,E(X)=m+n=2,即m+2n=6.又D(X)=(m-2)2+(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2
7、,当n=2时,D(X)取得最小值0.答案:A2.已知随机变量X的分布列如下:X123Pabc其中a,b,c成等差数列,若E(X)=,则D(X)=.解析:由题意得2b=a+c,a+b+c=1,a+2b+3c=,以上三式联立解得a=,b=,c=,故D(X)=.答案:3.若p为非负实数,随机变量X的分布列为X012P-pp则E(X)的最大值是,D(X)的最大值是.解析:由分布列的性质可知p,则E(X)=p+1,故E(X)的最大值为.D(X)=(p+1)2+p(p+1-1)2+(p+1-2)2=-p2-p+1=-,又p,当p=0时,D(X)取得最大值1.答案:14.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,
8、c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=.解析:由题意知X的可能取值有0,1,2,3,并且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.E(X)=0+1+2+3.D(X)=.答案:5.数字1,2,3,4,5任意排成一列,如果数字k恰好在第k个位置上,则称有一个巧合.(1)求巧合数X的分布列;(2)求巧合数X的均值与方差.解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,5,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,所以巧合数X的分布列为X01235P(2)E(X)=0+1+2+3+5=1,D(X)
9、=1+0+1+4+16=1.6.A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0x100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.解:(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3E(Y1)=50.8+100.2=6,D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4;E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8,D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12.(2)f(x)=D+D=D(Y1)+D(Y2)=x2+3(100-x)2=(4x2-600x+31002).所以当x=75时,f(x)=3为最小值.
