1、课时作业23解三角形应用举例一、选择题1(2014茂名二模)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45.就可以计算出A，B两点的距离为()A50 mB50 mC25 m D. m解析：由正弦定理得，AB50(m)答案：A2(2014宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC9米，利用测角仪测得仰角ACB45，测得仰角BCD后通过计算得到sinACD，则AD的距离为()A2米 B2.5米C3米 D4米解析：设
2、ADx，则BD9x，CD，在ACD中应用正弦定理得，即，所以292(9x)226x2，即818118xx213x2，所以2x23x270，即(2x9)(x3)0，所以x3(米)答案：C3(2014哈尔滨模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45C60 D75解析：依题意可得AD20 m ，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案：B4(2014大连模拟)如图，测量河对岸的塔高A
3、B时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得BCD15，BDC135，CD30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为()A10 m B10 mC15 m D10 m解析：在BCD中，CBD1801513530，由正弦定理，得，所以BC30(m)在RtABC中，ABBCtanACB30tan3010(m)答案：D5甲船在岛B的正南A处，AB10千米甲船以每小时4千米的速度向北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲船在A，B之间，且甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.分钟 B.小时C21.5分钟 D2.15分钟解析：如图，设航
4、行x小时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，在BCD中，BC104x，BD6x，CBD120，两船相距S千米，根据余弦定理可得，DC2BD2BC22BCBDcosCBD(6x)2(104x)226x(104x)cos120，即S228x220x100282100282，所以当x时，S2最小，从而S也最小，即航行60分钟时两船相距最近故选A.答案：A6(2015广州调研)如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan等于()A.B.C.D.解析：由题意，可得在ABC中，AB3.5 m
5、，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，得3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos，所以sin，所以tan.答案：A二、填空题7(2015宜昌模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_(填角度)的方向前进解析：设两船在C处相遇，则由题意ABC18060120，且，由正弦定理得sinBAC.又0BAC60，所以BAC30.答案：308(2015湘潭模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的
6、仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.解析：如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，ADB30，所以BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos120，即(x)2x24022x40cos120，解得x40，所以电视塔高为40 m.答案：409(2015杭州一中月考)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_
7、n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理，得，v32n mile/h.答案：32三、解答题10(2014石家庄模拟)已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的 一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos120，所以BC2
8、49，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船11(2014武汉二模)如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50千米/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？解析：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI3千米，OM5千米，OI4千
9、米，cosMOI.设骑摩托车的人的速度为v千米/时，追上汽车的时间为t小时由余弦定理，得(vt)252(50t)22550t，即v22 500252900900，当t时，v取得最小值为30，其行驶的距离为vt千米故骑摩托车的人至少以30千米/时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了千米12(2014江苏南京盐城二模)如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解析：设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0,120)当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以当AMN60时，符合要求
