1、第九节圆锥曲线中的定点、定值问题最新考纲会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题考点1定点问题直线过定点1.动直线l过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0)2动直线l过定点问题的解题步骤第一步：设AB直线ykxm，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；第二步：由AP与BP关系(如kAPkBP1)，得一次函数kf(m)或者mf(k)；第三步：将kf(m)或者mf(k)代入ykxm，得yk(xx定)y定(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)
2、，P3(1，)，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为，则k1k21，得t2，不符合题设从而可设l：ykxm(m1)将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21
3、)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点(，)本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件(如kAPkBP定值，kAPkBP定值)，直线AB依然会过定点教师备选例题过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求l的方程；
4、(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标解(1)易知点F的坐标为(1，0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，直线BD的斜率kBD，直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216
5、，即y1y24(y1，y2异号)，直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1，0)1.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点(1)求抛物线C的方程；(2)若点B(1，2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBPkBQ2，求证：直线PQ过定点解(1)若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，代入点A(1，2)，可得a4，所以抛物线方程为y24x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2my，代入点A(1，2)，可得m，所以抛物线方程为x2y.综上所述，抛物线C的方程是y24x或x2y.(2)证明：因为点B(1，2)在抛物线C
6、上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y24x.易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y2k(x1)，将直线BP的方程代入y24x，消去y，得k2x2(2k24k4)x(k2)20.设P(x1，y1)，则x1，所以P.用替换点P坐标中的k，可得Q(k1)2，22k)，从而直线PQ的斜率为，故直线PQ的方程是y22kx(k1)2在上述方程中，令x3，解得y2，所以直线PQ恒过定点(3，2)2已知圆x2y24经过椭圆C：1(ab0)的两个焦点和两个顶点，点A(0，4)，M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且MAN的平分线在y轴上，|AM|AN|.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线
7、MN过定点解(1)圆x2y24与x轴交于点(2，0)，即为椭圆的焦点，圆x2y24与y轴交于点(0，2)，即为椭圆的上下两顶点，所以c2，b2.从而a2，因此椭圆C的方程为1.(2)证明：设直线MN的方程为ykxm.由消去y得(2k21)x24kmx2m280.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.直线AM的斜率k1k；直线AN的斜率k2k.k1k22k2k.由MAN的平分线在y轴上，得k1k20.又因为|AM|AN|，所以k0，所以m1.因此，直线MN过定点(0，1)动圆过定点动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再用向量法证明用直径所对圆周角为直角
8、(2019北京高考)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)抛物线C的焦点为F(0，1)，设直线l的方程为ykx1(k0)由 得x24kx40.设M，N，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)
9、24(n1)2.令0，即4(n1)20，则n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，3)动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题. 在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1，0)的距离与它到直线x1的距离相等(1)求动点E的轨迹C的方程；(2)设动直线l：ykxb与曲线C相切于点P，与直线x1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点解(1)设动点E的坐标为(x，y)，由抛物线的定义知，动点E的轨迹是以(1，0)为焦点，x1为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C的方程为y24x.(2)证明：易知k0.由，消去x，得ky24y4b0.因为直线l与抛物线相切，所以161
10、6kb0，即b，所以直线l的方程为ykx，令x1，得yk，所以Q(1，k)设切点P(x0，y0)，则ky4y00，解得P(，)，设M(m，0)，则(m)(1m)(k)m2m2，所以当 即m1时，0，即MQMP.所以，以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M(1，0)考点2定值问题圆锥曲线中定值问题的2大解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)引起变量法：其解题流程为在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值
11、，并说明理由解(1)证明：k1，k2均存在，x1x20.又mn0，y1y20，即y1y2，k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0.又点P(x1，y1)在椭圆上，y1，|x1|，|y1|.SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb.联立得方程组 消去y并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即b20)SPOQ|PQ|b|2|b|1.综合知POQ的面积S为定值1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有
12、关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得教师备选例题已知动圆P经过点N(1，0)，并且与圆M：(x1)2y216相切(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设G(m，0) 为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，|GA|2|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值解(1)由题意，设动圆P的半径为r，则|PM|4r，|PN|r，可得|PM|PN|4rr4，点P的轨迹C是以M，
13、N为焦点的椭圆，2a4，2c2，b，椭圆的方程为1.即点P的轨迹C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知2m2，直线l：yk(xm)，由得(34k2)x28k2mx4k2m2120，x1x2，x1x2，y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2km，y1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m2，|GA|2|GB|2(x1m)2y(x2m)2y(x1x2)22x1x22m(x1x2)2m2(y1y2)22y1y2(k21).要使|GA|2|GB|2的值与m无关，需使4k230，解得k，此时|GA|2|GB|27.1.已知抛物线C：y22p
14、x经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3.所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2
15、，x1x2.直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由，得1yM，1yN.所以2.所以为定值2(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解(1)不能出现ACBC的情况理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又点C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况. (2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立 又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
