1、单元质检卷六数列(时间:100分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020河北衡水二中高三模拟)记Sn为等差数列an的前n项和,若a1+3a5=12,则S7=()A.18B.21C.24D.272.(2020山西晋城一中高三月考)已知在等比数列an中,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=()A.-4B.4C.12或2D.-4或43.(2020湖北襄阳五中模考)在等比数列an中,a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根,则a5=()A.1B.1C.52D.524.(2020海南高三调研)已知等差数列a
2、n,bn的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=n+52n-1,则a7b6=()A.67B.1211C.1825D.16215.(2020江苏南京秦淮中学高三期末)在公差d不为零的等差数列an中,a6=17,且a3,a11,a43成等比数列,则d=()A.1B.2C.3D.46.(2020广西南宁三中期末)在数列an中,a1=12,an=1-1an-1(n2,nN*),则a2 020=()A.12B.1C.-1D.27.(2020广东珠海高三模拟)已知等比数列an满足a1-a2=36,a1-a3=24,则使得a1a2an取得最大值的n为()A.3B.4C.5D.68.(2020河北唐山一中高一
3、月考)数列an满足a1=23,an+1=an2(2n+1)an+1,则数列an的前2 019项的和为()A.40354036B.40364037C.40374038D.40384039二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020辽宁实验中学高三期中)已知数列an为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q0,1),则数列bn的前n项和可以是()A.nB.nqC.q+nqn+1-nqn-qn(1-q)2D.q+nqn+2-nqn+1-qn+
4、1(1-q)210.(2020山东济南高三期末联考)已知数列an满足a1=1,an+1=an2+3an(nN*),则下列结论正确的有()A.1an+3为等比数列B.an的通项公式为an=12n+1-3C.an为递增数列D.1an的前n项和Tn=2n+2-3n-411.(2020河北邯郸大名中学高三月考)已知数列an不是常数列,其前n项和为Sn,则下列选项正确的是()A.若数列an为等差数列,Sn0恒成立,则an为递增数列B.若数列an为等差数列,a10,S3=S10,则Sn的最大值在n=6或7时取得C.若数列an为等比数列,则S2 021a2 0210恒成立D.若数列an为等比数列,则数列2a
5、n也为等比数列12.(2020山东济南6月针对性训练)设an是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意nN*,均有an+kan,则称an是间隔递增数列,k是an的间隔数,下列说法正确的是()A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B.已知an=n+4n,则an是间隔递增数列C.已知an=2n+(-1)n,则an是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知an=n2-tn+2 020,若an是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4t20203恒成立,那么a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020安徽芜湖高三调考)已知各项均不为0的等
6、差数列an的前n项和为Sn,若a5=9,且a1,a4,S7成等比数列.(1)求数列an的通项公式an与Sn;(2)设bn=(-1)n(Sn+2n),求数列bn的前20项和T20.18.(12分)在数列an中,a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2).(1)求an;(2)求1a2+2a3+3a4+n-1an.19.(12分)(2020上海第二中学高三期中)设Sn是等比数列an的前n项和,满足S3,S2,S4成等差数列,已知a1+2a3+a4=4.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=1log2|an|,nN*,记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+bnbn
7、+1,nN*,若对于任意nN*,都有aTnn+4恒成立,求实数a的取值范围.20.(12分)(2020山东潍坊高三模拟)已知an为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数都不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从a1=2,a1=1,a1=3三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列an存在,并在此存在的数列an中,试解答下列两个问题.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=(-1)n+1an2,求数列bn的前n项和Tn.21.(12分)已知数列an满足a1=1,an+1=1-14an,其中
8、nN*.(1)设bn=22an-1,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式;(2)设cn=4ann+1,数列cncn+2的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn358的最小正整数n.参考答案单元质检卷六数列1.B因为a1+3a5=12,所以4a1+12d=12,即a1+3d=3=a4,所以S7=7(a1+a7)2=72a42=7a4=21.故选B.2.Da5-a1=15,a4-a2=6,则a1(q4-1)=15,a1(q3-q)=6,2q2-5q+2=0,解得q=2或q=12.q=2,a1=1或q=12,a1=-16.a3=22=4或a3=(-16)122=-4.故选D.3.B在等
9、比数列an中,由题意知a4+a6=-5,a4a6=1,所以a40,a60恒成立,则公差d0,故an为递增数列,故A正确;若数列an为等差数列,a10,设公差为d,由S3=S10,得3a1+322d=10a1+1092d,即a1=-6d,所以d0恒成立,故C正确;若数列an为等比数列,则2an=2a1qn-1,所以2an+12an=2an+1-an=2a1(qn-qn-1)不是常数,故数列2an不是等比数列,故D错误.故选ABC.12.BCD对于A,an+k-an=a1qn+k-1-a1qn-1=a1qn-1(qk-1),因为q1,所以当a10时,an+k0,解得k3,故B正确.对于C,an+k
10、-an=2(n+k)+(-1)n+k-2n+(-1)n=2k+(-1)n(-1)k-1),当n为奇数时,2k-(-1)k+10,存在k1使an为间隔递增数列,当n为偶数时,2k+(-1)k-10,存在k2使an为间隔递增数列.综上所述,an是间隔递增数列且最小间隔数是2,故C正确.对于D,若an是间隔递增数列且最小间隔数是3,则an+k-an=(n+k)2-t(n+k)+2020-(n2-tn+2020)=2kn+k2-tk0,nN*成立,则k2+(2-t)k0,对于k3成立,且k2+(2-t)k0,对于k2成立,即k+(2-t)0,对于k3成立,且k+(2-t)0,对于k2成立,所以t-23
11、,且t-22,解得4t4a23,故要使得nN*,Sn20203恒成立只需4a2320203,解得a2505,故a505,+).17.解(1)设等差数列an的公差为d,则a5=a1+4d=9,由a1,a4,S7成等比数列知a42=a1S7=a17a4,因为a40,所以a4=7a1,于是d=2a1,解得a1=1,d=2,an=2n-1,Sn=n(1+2n-1)2=n2.(2)因为bn=(-1)n(Sn+2n)=(-1)n(n2+2n),所以T20=b1+b2+b3+b20=-(12+21)+(22+22)-(32+23)+(202+220)=(22-12+42-32+202-192)+210=(1
12、+2+3+20)+20=20(1+20)2+20=210+20=230.18.解(1)an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),an-1=a1+2a2+(n-2)an-2(n3),-,得an-an-1=(n-1)an-1,即anan-1=n(n3).当n=2时,a2=a1=1.a2a1=1,a3a2=3,a4a3=4,anan-1=n,上式累乘,得an=1345n=12n!(n2).an=1,n=1,n!2,n2.(2)1a2+2a3+3a4+n-1an=212!+23!+34!+n-1n!=211!-12!+12!-13!+1(n-1)!-1n!=21-1n!=2(n!-1)n
13、!.19.解(1)设数列an的公比为q,由S3+S4=2S2,得S3-S2+S4-S2=0,即有a3+a4+a3=0,得q=-2.a1+a4=4-2a3,a1+(-2)3a1=4-24a1,解得a1=4.故an=4(-2)n-1=(-2)n+1.(2)由(1)知bn=1log2|an|=1n+1,则bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2.Tn=12-13+13-14+14-15+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).依题意有an2(n+2)n+4对于任意nN*恒成立,即a2(n+2)(n+4)n对于任意nN*恒成立.设f(n)=(n+2)(n+4)n=n+8n+
14、6,由于y=x+8x+6在区间1,22上单调递减,在区间22,+)上单调递增,f(n)min=f(3)=353,a2f(n)min=353,即a703.实数a的取值范围为-,703.20.解(1)若选择条件a1=2,则放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在;若选择条件a1=1,则放在第一行的第二列,结合条件可得a1=1,a2=4,a3=7,则an=3n-2,nN*;若选择条件a1=3,则放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在.综上可得an=3n-2,nN*.(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2.当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+bn=a12-a2
15、2+a32-a42+an-12-an2=(a1+a2)(a1-a2)+(a3+a4)(a3-a4)+(an-1+an)(an-1-an)=-3(a1+a2+a3+an)=-3n(1+3n-2)2=-92n2+32n;当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-92(n-1)2+32(n-1)+(3n-2)2=92n2-32n-2.故Tn=-92n2+32n,n为偶数,92n2-32n-2,n为奇数.21.(1)证明bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=22(1-14an)-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2,数列bn是等差数列.a1=1,b1=2,bn=2+(n-1)2=2n,又bn=22an-1,an=n+12n.(2)解存在.cn=4ann+1,an=n+12n,cn=2n,cncn+2=4n(n+2)=21n-1n+2,Tn=21-13+12-14+13-15+1n-1n+2=21+12-1n+1-1n+23,依题意要使Tn0,Sn关于n单调递增,又S3=154=308358,使Sn358的最小正整数n=4.
