1、1.2.3同角三角函数的基本关系式|目 标 索 引|1理解同角三角函数的基本关系式:sin2xcos2x1,tanx;知道这两个基本关系的推导;2会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.1同角三角函数的基本关系式平方关系sin2cos21.商数关系tan.2同角三角函数的变形公式sin21cos2;cos21sin2;sincostan;cos.1已知cos,且是第四象限的角,则tan的值为()A B.C. D.解析:cos,是第四象限的角sin,tan,故选B.答案:B2如果是第二象限的角,下列各式中成立的是()AtanBcosCsinDtan解析:是第二象限角,cos0,为第一或第二象限
2、角当为第一象限角时,cos,tan;当为第二象限角时,cos.tan.(2)tan2,是第二、四象限角,又tan2,得sin2cos.5cos21,当为第二象限角时,cos0,cos,sin2.当为第四象限角时,cos0,cos,sin2.综合知:当为第二象限角时,cos,sin,当为第四象限角时,cos,sin.【知识点拨】利用同角三角函数关系式,可以解决已知某角的一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值,若已知sin,利用cos21sin2,求cos;若已知cos,利用sin21cos2,求sin;若已知tan,利用tan与sin2cos21解方程组求sin与cos,要注意角所在象限,必要
3、时要进行讨论若sin,且为第四象限角,则tan的值等于()A. B.C. D.解析:为第四象限角,cos,tan,故选D.答案:D化简:(1);(2).【分析】利用平方关系进行正弦、余弦间的互化,遇到正切,常将正切利用商数关系进行变形【解】(1)原式1.(2)解法一:原式1sin.解法二:原式1sin.证明下列三角恒等式:(1);(2).【分析】(1)切化弦;(2)左边入手,利用平方差公式【证明】(1)左边右边,所以原命题成立(2)左边右边,所以原命题成立【知识点拨】三角函数式化简技巧(1)“化弦法”,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的;(2)“1”的代换:1s
4、in2cos2,1tan2;(3)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的简单三角恒等式的证明方法:(1)从一边开始,证明它等于另一边;(2)证明左、右两边等于同一个式子;(3)证明左右0或1的等价形式若sintan0,化简 .解:由于sintan0,则sin,tan异号,是第二、三象限角,cos0, .证明:2(1sin)(1cos)(1sincos)2.证明:右边(1sin)cos2(1sin)2cos22cos(1sin)12sinsin2cos22cos(1sin)22sin2cos(1sin)2(1sin)(1cos)左边,原式成立.(1)已知A,且
5、cosAsinA,则cosAsinA()A B.C D.(2)已知tan,则的值是()A. B.3C D.3【解析】(1)由cosAsinA得(cosAsinA)2,cos2A2sinAcosAsin2A,2sinAcosA,(cosAsinA)212sinAcosA.A,cosAsinA0,cosAsinA,故选D.(2),故选A.【答案】(1)D(2)A【知识点拨】给条件求值问题常见的两种类型(1)关于sin,cos的齐次式求值,只要分子与分母同除以cos(或cos2)转化为关于tan的函数式;(2)sincos,sincos之间的关系:(sincos)212sincos,三个中知道一个,
6、可以求其他两个,解决问题时要注意判断它们的符号已知tan2,则sin2sincos2cos2()A B.C D.解析:解法一:tan2,sin2cos.又sin2cos21,5cos21,cos2,sin2,原式2cos22cos2.故选D.解法二:原式.故选D.答案:D1已知sin,(0,),则tan等于()A. B.C D.解析:sin,(0,),cos,tan.答案:D2若sincos,则下列结论中一定成立的是()Asin B.sinCsincos1 D.sincos0解析:sincos,2sincos1,sin2cos22sincos0,sincos0,故选D.答案:D3若满足sincos,那么tan的值为()A1 B.2C1 D.2解析:由sincos,得sin22sincoscos22,2sincos1,sincos,tan2.答案:D4若sin2cos,则_.解析:.答案:5化简: .解:原式 ,cossin0,sincos0,原式cossincossin2cos.