1、第14课时函数奇偶性的简单应用课时目标1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式2能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题识记强化1奇函数函数图象关于原点对称2偶函数函数图象关于y轴对称课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是()Af(x)3x1 Bf(x)Cf(x)1 Df(x)x答案：D解析：A.f(x)3x1在定义域R上是增函数但不是奇函数B.f(x)是奇函数但不是增函数C.f(x)1不是奇函数且在定义域上不是增函数，只有D符合2奇函数yf(x)(xR)的图象必定经
2、过点()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D.答案：C解析：f(a)f(a)，C正确，故选C.3若函数f(x)x2(aR)，则下列结论正确的是()A对任意实数a，f(x)在(0，)上是增函数B对任意实数a，f(x)在(0，)上是减函数C存在实数a，使f(x)是偶函数D存在实数a，使f(x)是奇函数答案：C解析：对于A，取a4.5，则f(1)125.5，f(1.5)1.525.25，显然f(1)f(1.5)，所以A错误；对于B，取a0，则f(x)x2在(0，)上是增函数，所以B错误；对于C，取a0，则f(x)x2，定义域为(，0)(0，)，且f(x)(x)2x2f(x)，则f(
3、x)是偶函数，所以C正确；对于D，假设存在实数a使得f(x)是奇函数，则f(1)f(1)，又f(1)1a，f(1)1a，f(1)1a，显然f(1)f(1)，即假设不成立，所以D错误故选C.4设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x，则f(1)()A BC. D.答案：A解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)f(1).5若f(x)(xa)(x3)为R上的偶函数，则实数a的值为()A3 B3C6 D6答案：B解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)，即(xa)(x3)(xa)(x3)，化简得(62a)x0. 因为xR，所以62a0，即a3.6已知
4、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(1)f(3)f(4)Bf(4)f(3)f(1)Cf(3)f(4)f(1)Df(1)f(4)f(3)答案：D解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，又f(x)满足f(x4)f(x)，则f(4)f(0)0.又f(x)f(x)且f(x4)f(x)，所以f(3)f(3)f(14)f(1)又f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)f(0)，即f(1)0，所以f(1)f(1)0，f(3)f(1)0，于是f(1)f(4)f(3)二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7已知函数f(x)为偶函数，
5、且当x0时，f(x)x1，则x0时，f(x)_.答案：x1解析：当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.8已知yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域均为2,2，且它们在x0,2上图象如图所示，f(x)g(x)的解集是_答案： 2,0)(0,1)解析：做出函数f(x)，g(x)在2,2上的图象若f(x)g(x)，f(x)图象应位于g(x)图象上方，结合图象，f(x)g(x)解集为2,0)(0,1)9若奇函数f(x)(x0)在x(0，)时，f(x)x1，则满足不等式f(x1)0的x的取值范围是_答案：(1,2)(，0)解析：方法一：当x(，0)时，x(0，)，
6、所以f(x)x1.又函数为奇函数，所以f(x)f(x)x1，x(，0)所以f(x)所以f(x1)则f(x1)0时，有1x2或x0，此即为x的取值范围方法二：由于当x(0，)时，f(x)x1，所以f(1)0，且函数在(0，)上为增函数，又函数为奇函数，所以f(1)0，且函数在(，0)上也为增函数，于是f(x1)0转化为f(x1)f(1)或f(x1)f(1)当x(0，)时，有即1x2.当x(，0)时，x11，即x0.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10(12分)已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的奇函数，又f(x)在(0，)上是减函数且 f(x)0.问F(x)在(，0)上是增函数还是
7、减函数？并证明你的结论解：F(x)在(，0)上是增函数，证明过程如下：设x1x2x20.F(x1)F(x2).f(x)是奇函数，f(x1)f(x2)，即f(x2)f(x1)x20，f(x1)f(x1)0，f(x2)f(x2)0.f(x1)f(x2)0，F(x1)F(x2)0.即F(x1)F(x2)F(x)在(，0)上是增函数11(13分)奇函数f(x)是定义在(1,1)上的减函数，若f(m1)f(32m)0，求实数m的取值范围解：原不等式化为f(m1)f(32m)因为f(x)是奇函数，所以f(m1)f(2m3)因为f(x)是减函数，所以m12m3，所以m2.又f(x)的定义域为(1,1)，所以
8、1m11且132m1，所以0m2且1m2，所以1m2.综上得1m2.故实数m的取值范围是(1,2)能力提升12(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1 B0C1 D2答案：B解析：f(x)是R上的奇函数f(0)0.f(2)f(0)0.f(4)f(2)0.f(6)f(42)f(4)0.13(15分)已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f().(1)确定函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的值域解：(1)因为f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，所以f(x)f(x)，即，求得b0.又f()，即，求得a1.故所求函数解析式为f(x)(x(1,1)(2)当x0时，f(0)0；当x0时，f(x)令u(x)x，x(1,1)，且x0，设任意的x1，x2(0,1)，且x1x2，则u(x1)u(x2)x1(x2)(x1x2)(1)因为0x1x21，所以0x1x21,10.又x1x20，所以u(x1)u(x2)0，即u(x1)u(x2)，故u(x)在(0,1)上单调递减同理可得u(x)在(1,0)上单调递减所以当x(1,0)时，u(x)u(1)2,0f(x)；当x(0,1)时，u(x)u(1)2,0f(x).又x0时，f(0)0，所以当x(1,1)时，函数f(x)的值域为(，)
