1、定州市2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试题本试卷分为第卷和第卷两部分，共三个大题，22个小题.满分150分，时间120分钟.卷答案涂在答题卡，卷答案写在答题卡上.交卷时只收答题卡.第卷（选择题 共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，计60分）1.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数m,从集合1,3,5中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分步计数乘法原理求得所有的)共有12个，满足两个向量垂直的共有2个，利用古典概型公式可得结果.【详解】集合2,3,4,5中随机抽取一个数,有
2、4种方法；从集合1,3,5中随机抽取一个数，有3种方法，所以，所有的共有个，由向量与向量垂直,可得，即,故满足向量与向量垂直的共有2个：，所以向量与向量垂直的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.2.手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，严重影响了自己的学业，某学校随机抽取个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图如图所示以组距为将数据分组成
3、，时，所作的频率分布直方图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题可以先算出在每一组内的数据有几个，再算出每一组所对应的概率，最后通过概率除以组距，绘出图像，得出结果【详解】由茎叶图可知数据分别为：在内有一个；在内有两个；在内有四个；在内有两个；在内有四个；在内有三个；在内有三个，在内有两个，由此可知在内概率为；在内的概率为；在内的概率为；在内的概率为；在内的概率为；在内的概率为；在内的概率为；再根据频率除组距画出图像，由此可知，故选A【点睛】本题主要考查频率分布直方图，需要明确每一组所对应的频率除组距的值3.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）A.
4、虚轴长为4B. 焦距为C. 离心率为D. 渐近线方程为【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为，则C错误；对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.故选D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.4.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“
5、这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面和充要条件的判定方法，即可求解【详解】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和充分不必要条件的判定，其中解答中熟记平面的基本性质和充分不必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力5
6、.为了解某校高二名学生的体能情况，随机抽查部分学生，测试分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（ ）A. 该校高二学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人B. 该校高二学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约有人C. 该校高二学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次D. 该校高二学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次【答案】B【解析】【详解】图像的纵坐标是频率比组距，故仰卧起坐的次数超过次的频率为，故人数有0.21000=200，A是正确的；同理次数少于20次的频率为0.1，人数为100人，故B是错误的；高二学生分钟仰卧起坐的次数中位数为25
7、+x，则0.1+0.3+0.4x=0.5,x=0.25.故得到中位数为：25.25.故C是正确的；众数即出现最多的次数，频率最大的，在25到30之间，取中间值27.5即可故D也是正确的故答案为B6.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（ ）.A. 20B. 18C. 16D. 以上均有可能【答案】C【解析】【分析】根据椭圆光学性质可知，小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点
8、继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=44=16故选C【点睛】本题主要考查了椭圆的应用解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.7.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么|PF|=A. B. 8C. D. 16【答案】B【解析】设A（-2，t），88.已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率
9、e的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨ex+a，丨PF2丨exa，根据|PF1|4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围【详解】设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨ex+a，丨PF2丨exa，ex+a4（exa），化简得e，p在双曲线的右支上，xa，e，即双曲线的离心率e的最大值为.故选A【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生对双曲线定义的灵活运用求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不
10、同求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围9.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小【详解】由题可知，所以，故选：【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解
11、题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定10.命题:“xR,”的否定是()A. xR,B. xR,C. xR,D. 【答案】C【解析】全称命题的否定为存在命题，命题:“”的否定是.11.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，=，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2| m， 故离心率e选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点
12、的坐标的范围等.12.已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为A. 3B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】设，利用三角形知识得到，转化成，令，将转化成，问题得解【详解】设，由抛物线方程可得：抛物线的焦点坐标为，由抛物线定义得：又,所以，当且仅当三点共线时（F点在PQ中间），等号成立，令，可化为：，当且仅当，即：时，等号成立故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题第卷（非选择题 共90分）二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击
13、中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_【答案】【解析】【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次次数有15，所以射击4次至少
14、击中3次的概率为.故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能
15、值中，最大的是_.【答案】【解析】【分析】当区域标记的数字是2，区域标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大【详解】由题知，当区域标记的数字是2，区域标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数，标记为1的区域中小方格的个数，所以，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为_.【答案】【解析】椭圆方程为，即，则椭圆的焦点为不妨取焦点抛物线抛物线的
16、焦点坐标为椭圆与抛物线有相同的焦点,即,则抛物线方程准线方程为到准线的距离为，即点的纵坐标为点在抛物线上点的横坐标为不妨取点的坐标,关于准线的对称点的坐标为则，即三点共线时，有最小值，且最小值为故答案为点睛：本题主要考查运用抛物线与椭圆的简单性质解决最小值问题，解答本题的关键是对称性化简求值及两点之间线段最短16.设为椭圆上任意一点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为_.【答案】【解析】【分析】由已知可得，为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，写出圆的标准方程得答案【详解】如图，由椭圆方程，得，所以，则，为椭圆两焦点，所以，由于，则所以点的轨迹是以为圆心，以为半
17、径的圆，其方程为故答案为：【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题三、解答题（本题共6题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物线的方程；（2）设直线：，联立方程组，利用根与系数的关系
18、，求得，再由得，即可得到结论【详解】（1）设，两点的坐标分别为，则，两式相减得.即，又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，.即抛物线的标准方程为.（2）设直线：与抛物线：交于点，则，由得，即，直线为，过定点.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率
19、表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（）级数全月应纳税所得额税率（）1不超过1500元部分31不超过3000元部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20（1）假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；（2）某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的
20、频数分布表：收入（元）人数304010875先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）；（2）（3）220元.【解析】【分析】（1）依题意，根据个人所得税税率表调整前后的计算方法，分别求出小红调整前后关于的函数表达式；（2）根据分层抽样算出抽取7人，其中占3人，用列举法和古典概率的公式即可求出概率，（3）分别计算出按调整起点前应交纳个税为295元，按调整起点后应交纳个税为75元，由此可知，调整后应交纳个
21、税少交220元，即为增加的收入数【详解】已知，表示总收入，表示应纳的税，小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，根据个人所得税税率表调整前后的计算方法，得：调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为.（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中占3人，分别记为，中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，12，13，14，23，24，34，共21种情况，其中不在同一收入人群的有：，共12种，所以所求概率为.（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为元；按调整起征点后应纳个税为元，由此可知，调整起征点后应纳个税
22、少交220元，即个人的实际收入增加了220元，所以小红的实际收入增加了220元.【点睛】本题考查了分段函数的解析式，还涉及分层抽样和列举法求古典概率等基础知识，属于基础题19.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值y（微克） x（千克） 3381110374121751其中（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；()
23、若用解析式作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求出与的回归方程(c，d精确到0.1)()对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据)附：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】（1）见解析； （2）；（3）需要用45千克的清水清洗一千克蔬菜.【解析】【分析】（I）根据散点图判断适宜作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程类型；（II）令，先建立关于的线性回归方程，平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式，可得关于的回归方程，再代换成关于的回归方程
24、可得结果；（III）解关于的不等式，求出范围即可.【详解】（I）根据散点图判断适宜作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程类型；（）令，先建立y关于w的线性回归方程，由于， y关于w的线性回归方程为，y关于x的回归方程为 ()当时， ，为了放心食用该蔬菜，估计需要用45千克的清水清洗一千克蔬菜【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再
25、利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.20.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，直线过点，且与抛物线交于，两点（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）求的最大值【答案】（1），；（2）9【解析】【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；（2）设直线l的方程为：x+my10，代入y24x，得，y2+4my40，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y24m，y1y24，x1+x22+4m2，x1x21，（），（x22，），由此能求出的最大值【详解】（1）点F是抛物线y22px（p0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，
26、|PF|3，23，解得：p2，抛物线C的方程为y24x，点P（2，n）（n0）在抛物线C上，n2428，由n0，得n2，P（2，2）（2）F（1，0），设直线l的方程为：x+my10，代入y24x，整理得，y2+4my40设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是y2+4my40的两个不同实根，y1+y24m，y1y24，x1+x2（1my1）+（1my2）2m（y1+y2）2+4m2，x1x2（1my1）（1my2）1m（y1+y2）+m2y1y21+4m24m21，（），（x22，），（x12）（x22）+（）（）x1x22（x1+x2）+4148m2+44+8m+88m2+8m
27、+58（m）2+9当m时，取最大值9【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21.已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）.（1）求椭圆的方程；（2）当的面积时，求直线的方程；（3）求的范围.【答案】（1）（2）或.（3）【解析】【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆方程（2）椭圆右焦点 设直线方程为由，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线的方程（3）设的坐标，由已知条件推导出，由此能求出的范围【详解】（1）设椭圆方程
28、为，由已知，所以，椭圆方程为.（2）椭圆右焦点，设直线方程为.由，得.显然，方程的.设，则有，.由的面积，解得：.所以直线方程为，即或.（3）设的坐标，则，故，因为，所以的范围为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化22.在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）已知，是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析
29、】【分析】（）连结QF，由已知条件推导出|QP|QF|，从而得到|QE|+|QF|PE2，由此推导出点Q的轨迹方程T是以E（1，0）和F（1，0）为焦点的椭圆，进而能求出点Q的轨迹方程T（）设直线l的方程为ykx+m，把ykx+m代入椭圆，得（1+2k2）x2+4kx+2m220，分m0和m0两种情况进行讨论，能求出实数的取值范围【详解】解：（）如图，连结QF，点E（1，0）和F（1，0），圆E是以E为圆心，半径为的圆，点P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q，|QP|QF|，|QE|+|QF|PE2，点Q的轨迹方程T是以E（1，0）和F（1，0）为焦点的椭圆，
30、且2a2，a，c1，b1，点Q的轨迹方程T：（）设经过点M、N的直线为l，由题意和l的斜率存在，设直线l的方程为ykx+m，把ykx+m代入椭圆，整理，得（1+2k2）x2+4kx+2m220，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则，x1x2，y1+y2k（x1+x2）+2m，当m0时，点M，N关于原点对称，则0；当m0时，点M，N不关于原点对称，则0，x1+x2x0，y1+y2y0，y0，点P在上，2+222，化简，得4m2（1+2k2）2（1+k2）2，1+2k20，4m22（1+2k2），又16k2m24（1+2k2）（2m22）8（1+2k2m2）0，1+2k2m2，联立及m0，得24，22，且0综上所述，实数的取值范围是（2，2）【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的简单性质，注意分类讨论思想的合理运用
