1、第2课时直线与椭圆的综合问题考点1直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程(3)当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离1.若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1Bm0C0m5且m1 Dm1且m5D直线ykx1恒过定点(0,1)，则点(0,1)在椭圆1内部或椭圆上，从而1，又m0，则m1，因为椭圆1中，m5.所以m的取值范围是m1且m5，故选D.2过点M(4,4)作椭圆1的切线，切点N在第一象限，设椭圆的左焦点为F，则直线NF的斜率为 设N(x，y)，直线MN的斜率
2、为k.M(4,4)，则直线MN的方程为y4k(x4)，代入椭圆方程消去y，整理得(34k2)x28mkx(4m212)0，其中m4k4，由于相切，所以0，所以m24k23，所以解得k，代入求得切点N，所以直线NF的斜率为kNF.3已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C
3、有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点T2中求切点的横坐标时，可直接使用求根公式x1x2(其中a，b分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)考点2直线与椭圆相交的弦长问题弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率)(3)若直线的斜率
4、不存在，可直接求交点坐标，再求弦长(2018北京高考改编)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值解(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，由题意知36m216(3m23)0，即2m2，此时x1x2，x1x2.所以|AB|.当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同解的情况下进行的，不要忽略0.教师备选例题直线经过椭圆1的左焦
5、点，倾斜角为60，与椭圆交于A，B两点，则弦长|AB| .由题意知直线方程为y(x2)，代入椭圆方程消元整理得5x216x0，所以x0，或x，所以交点A(0,2)，B，所以|AB|.1.已知椭圆y21与直线yxm交于A，B两点，且|AB|，则实数m的值为()A1B C.DA由消去y并整理，得3x24mx2m220.由题意知16m212(2m22)0，即m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由题意，得|AB|，解得m1.2椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线A
6、B的斜率为，求ABF2的面积解(1)由题意知，4a8，所以a2，又e，所以，c1，所以b22213，所以椭圆E的方程为1.(2)设直线AB的方程为y(x1)，由得5x28x0，解得x10，x2，所以y1，y2.所以SABF2c|y1y2|1.考点3弦中点问题处理中点弦问题常用的两种方法(1)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解(1)在椭圆1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程
7、为 (2)(2019南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率e .(1)9x32y730(2)(1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得0，所以，即，因为x1x22，y1y24，所以，故该直线方程为y2(x1)，即9x32y730.(2)设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直线AB的斜率k1.由两式相减得0，所以，所以，于是椭圆的离心率e.用点差法求参数的值(或范围)时，要检验直线与椭圆是否相交1.已
8、知椭圆y21，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy50 B9xy40Cx9y50 Dx9y40C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得(y2y1)(y2y1)0，因为x2x11，y2y11，kAB，代入后求得kAB，所以弦所在的直线方程为y，即x9y50.2焦点为F(0,5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为 1设所求的椭圆方程为1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，可得弦AB的中点坐标为，且，.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得23，所以a23b
9、2，又c2a2b250，所以a275，b225，故所求椭圆的标准方程为1.考点4椭圆与向量的综合问题解决椭圆与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系(2)利用向量关系转化成相关的等量关系(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题(2019长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，
10、联立整理得y2y90，则1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k，又k0，所以k.解答本题应注意：(1)根据2，确定y1与y2的关系，从而确定直线与椭圆方程联立消去x；(2)根据y12y2得到y1y2y2，(y1y2)2y，从而y1y22(y1y2)2；(3)也可以根据求出y1，y2，再利用y1y2求解教师备选例题已知椭圆C：1(ab0)，e，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且(其中1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值解(1)由椭圆
11、的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意；当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0，x1x22，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.(2019保定模拟)设点P在以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆C：1(ab0)上(1)求椭圆C的方程；(2)经过F2作直线m交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.若1，2，且121，求1与2的值解(1)因为点P在以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆C：1(ab0)上，所以2a2，所以a.又因为c2，所以b，所以椭圆C的方程为1.(2)设A，B，M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)因为1，所以(x1，y1y0)1(2x1，y1)，所以x1，y1，将A点坐标代入到椭圆方程中，得1.去分母整理得18601305y0.同理，由2可得18602305y0，1，2是方程18260305y0的两个根则12，又121，二者联立解得13，2，或1，23.
