1、5 夹角的计算01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2，为l1与l2的夹角二、平面间的夹角1定义：如图，平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则l1l2R，我们把叫作平面1与2的夹角2与平面法向量的关系设平面1和2的法向量分别为n1、n2，为两个平面的夹角，0n1，n22，2n1，n2.直线l1和l2的夹角n1，n2n1，n2三、直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为.疑难提示异面直线夹角与向量夹角的差异根据异面直线的定
2、义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为0，所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和时除外)想一想1如何用向量求平面间的夹角？2如何用向量求直线与平面的夹角？提示：设平面1和2的夹角为，其法向量分别为n1和n2，则cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|.提示：若直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为.则sin|coss，n|sn|s|n|.练一练3已知直线l1的方向向量s1(1,0,1)与直线l2的方向向量s2(1,2，2)，则l1和l2夹角的余弦值为()A.24 B.12C.22
3、D.32解析：因为s1(1,0,1)，s2(1,2，2)，所以coss1，s2 s1s2|s1|s2|1223 22.又两直线夹角的取值范围为0，2，所以l1和l2夹角的余弦值为 22.答案：C4若平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是()Acos na|n|a|Bcos|na|n|a|Csin na|n|a|Dsin|na|n|a|解析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为，则90 或90，故选D.答案：D5若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，v(1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是_解析：cosn，
4、v nv|n|v|12 212，n，v120.故两平面所成的锐二面角为60.答案：60探究一 求异面直线所成的角典例1 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且D1DC 3，DCDD12，DA3，ADC 2，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0,0)，D1(0,1，3)，C(0,2,0)，D(0,0,0)由AA1 DD1 得A1(3，1，3)A1C(3，1，3)，D1A(3，1，3)，cosA1C，D1A A1C D1A|A1C|D1A|3，1，3 3，1，37 717.异面直线A1C与AD1所
5、成角的余弦值为17.1求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角a，b但两异面直线的夹角范围是 0，2，所以当a，b 2，时，两异面直线的夹角应为a，b2合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解1如图所示，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA 3，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值解析：以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，O1(0,1，3)，A(3，0,0)，A1(3，1，3)，
6、B(0,2,0)，A1B(3，1，3)，O1A(3，1，3)|cosA1B，O1A|A1B O1A|A1B|O1A|3，1，3 3，1，3|7 717.异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为17.2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PDA30，AEPD，E为垂足(1)求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值解析：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)又PDA30，APADtan 30
7、2a 33 2 33 a，AEADsin 302a12a.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，AEa，EAF60，AFa2，EF 32 a.P0，0，2 33 a，E0，12a，32 a.(1)证明：BE a，12a，32 a，PD 0，2a，2 33a，BE PD 0a2a20.BE PD，BEPD.(2)AE 0，12a，32 a，CD(a，a,0)则cosAE，CD AE CD|AE|CD|12a22aa 24，即AE与CD的夹角的余弦值为 24.探究二 求二面角典例2 如图，在空间直角坐标系中有直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC，求
8、平面A1BD与平面C1BD夹角的余弦值解析 解法一 设DA1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)，DA1(1,0,2)，DB(1,1,0)设n(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，由nDA1，nDB，得x2z0 xy0.令z1得n(2,2,1)又DC1(0,2,2)，设m(x1，y1，z1)为平面C1BD的一个法向量，由mDC1，mDB，得2y12z10 x1y10.取z11，则m(1，1,1)设m与n的夹角为，则平面A1BD与平面C1BD的夹角为，cos mn|m|n|33 9 33，cos()cos 33.即所求平面A1BD与
9、平面C1BD的夹角的余弦值为 33.解法二 设DAa，由题意知：D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0,2a,0)，C1(0,2a,2a)，A1(a,0,2a)，D1(0,0,2a)，取DB的中点F，DC1的中点M，连接A1F，FM，由题意得F(a2，a2，0)，M(0，a，a)，FA1(a2，a2，2a)，FM(a2，a2，a)，DB(a，a,0).FA1 DB(a2，a2，2a)(a，a,0)0，FM DB(a2，a2，a)(a，a,0)0，FA1DB，FMDB.A1FM即为所求平面A1BD与平面C1BD的夹角cosA1FM FA1 FM|FA1|FM|a2，a2，2
10、aa2，a2，a3 2a2 6a2a24 a24 2a23 3a22 33.即所求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值为 33.1两平面夹角的向量求法(1)若AB，CD分别是两个平面，内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量AB 与CD 的夹角如图.(2)设n1、n2分别是平面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小如图.2求两个平面夹角的几何法的一般步骤(1)找出或作出平面角；(2)证明它符合定义；(3)通过解三角形计算3与两个平面夹角有关的问题中作平面角的常用方法(1)根据定义找出两个平面夹角的平面角；(2)根据三垂线定理或其逆定理作出两个平面
11、的平面角；(3)作两个平面公共棱的垂面，则垂面和两个平面的交线所成的角即是两个平面的平面角；(4)利用投影面积公式cos S投影S原 求两个平面夹角的大小3.如图，在四边形ABCD中，ABAD4，BCCD7，点E为线段AD上一点现将DCE沿线段EC翻折到PCE(点D与点P重合)位置，连接PA，PB，使得平面PAC平面ABCE.(1)证明：BD平面PAC；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由解析：(1)如图，设AC，BD交于点O.ABAD4，BCCD 7，ABCADC，DACBAC.ACBD.又平面PAC平面ABCE，且
12、平面PAC平面ABCEAC，BD平面PAC.(2)以点O为坐标原点，直线OA，OB分别为x轴、y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可设点P(x,0，z)A(2 3，0,0)，B(0,2,0)，C(3，0,0)，E(3，1，0)，AB(2 3，2,0)又PE2，PC 7，x 3212z24x 32z27，x 33z 153，P33，0，153，则AP 5 33，0，153.设平面PAB的法向量为n(a，b，c)，由 AP n0AB n0，得c 5ab 3a，故可取n(1，3，5)易得平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)，设二面角PABC的大小为，
13、由图知二面角PABC为锐角，cos|mn|m|n|53.探究三 求直线与平面所成的角直线与平面所成的角的求法 用线面角的定义求线面角 用向量法求线面角 用法向量法求线面角4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角解析：解法一 连接BC1，交B1C于点O，连接A1O，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1，BC1平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即BA1O为A1B与平面A1B1CD的夹角设正方体的边长为1，那么在RtA1OB中，A1B 2，BO 22，sinBA1OBOA1B12
14、，BA1O30.即A1B与平面A1B1CD的夹角是30.解法二 如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则有D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A1B(0,1，1)，A1D(1，0，1)，A1B1(0,1,0)设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z)由nA1DnA1B1nA1D 0nA1B1 0 xz0y0.令x1，则有y0，z1，可得n(1,0，1)设A1B与平面A1B1CD的夹角是，则sin|cosA1B，n|A1B n|A1B|n|12，所以A1B与平面A1B1CD的夹角是30.5已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底
15、面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角解析：解法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0，0，2a)，C1(32 a，a2，2a)，取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连接AM、MC1，有MC1(32 a,0,0)，AB(0，a,0)，AA1(0,0，2a)MC1 AB 0，MC1 AA1 0，MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面ABB1A1的夹角AC1(32 a，a2，2a)，AM(0，a2，2a)，AC1 AM 0a24 2a29a24.而|AC1|3a24 a24 2a2 3a，|AM|a24 2a232a，c
16、osAC1，AM 9a243a3a2 32.AC1，AM 30，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.解法二(接解法一)AA1(0,0，2a)设侧面ABB1A1的法向量为n(，y，z)nAB 0且nAA1 0.ay0，且 2az0.yz0，故n(，0,0)AC1(32 a，a2，2a)，cosAC1，n nAC1|n|AC1|32 a|3a 2|.设AC1与侧面ABB1A1的夹角为，则sin|cosAC1，n|12，30，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.6.如图，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BD12AE2，
17、O，M分别为CE，AB的中点(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值解析：(1)DBBA，平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，DB平面ABC.BDAE，EA平面ABC.如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系ACBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，AB(4,4,0)，CE(4,0,4)cosAB，CE 164 24 212，异面直线AB与CE所成角的大小为3.(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4
18、,2)，M(2,2,0)，CD(0,4,2)，OD(2,4,0)，MD(2,2,2)设平面ODM的法向量为n(x，y，z)，则由nODnMD，可得2x4y02x2y2z0，令x2，则y1，z1，n(2,1,1)设直线CD与平面ODM所成的角为，则sin|cosn，CD|nCD|n|CD|3010，直线CD与平面ODM所成角的正弦值为 3010.利用向量法求空间角典例(本题满分 12 分)如图，直棱柱 ABC-A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点，AA1ACCB 22 AB.(1)证明：BC1平面 A1CD；(2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值规范解答(1)证明：连接 AC1
19、，交 A1C 于点 F，连接 DF，则 F 为 AC1 的中点因为 D 为 AB 的中点，所以 DFBC1.又因为 FD平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.4 分(2)由AA1ACCB 22 AB，可设AB2a，则AA1ACCB 2a，所以ACBC.又因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以可建立如图所示的空间直角坐标系.6分则C(0,0,0)，A1(2 a,0，2 a)，D22 a，22 a，0，E0，2a，22 a，CA1(2a,0，2a)，CD 22 a，22 a，0，CE 0，2a，22 a.8分设平面A1CD的法向量为n(x，y，z)，则nCD 0且nCA1 0，可解得yxz，令x1，得平面A1CD的一个法向量为n(1，1，1)，同理可得平面A1CE的一个法向量为m(2,1，2)，10分则cosn，m 33，所以sinn，m 63，所以二面角D-A1C-E的正弦值为 63.12分规范与警示(1)本题的易错点处不经过论证直接建系，导致ACBC缺少理论根据处求点的坐标时不能正确运用中点坐标公式或计算出错处不能正确的将向量角转化为二面角(2)此类问题：一要严格论证建系条件，二要正确计算写出点的坐标，三应注意向量夹角与空间角的关系，三角函数的转化及运算03课时 跟踪训练
