1、2020-2021学年度第一学期期中考试高一数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共12小题，每小题5分）1. 已知非空集合，则满足条件的集合的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意可知，集合为集合的子集，求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果.【详解】，所以满足条件的集合可以为，共3个,故选：C.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查计算能力，属于基础题.2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及一元二次不等式的解法求出集合，再根据集合的交运算即可求解.【详解】，或.所以.故选：C3
2、. 条件是条件的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】先将、解出，比较其解集的包含关系，就可以做出判断【详解】条件的解集为，条件的解集为，显然，故条件是的充分不必要条件，故选：【点睛】本题是集合与命题的综合题，考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，属于基础题4. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果.【详解】由题意，当时，命题成立；当时，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了
3、一元二次不等式恒成立问题，考查了分类讨论的思想，属于基础题.5. 已知，且，则的最小值是（ ）A. 2B. 6C. 3D. 9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当，时取等号，故选：D【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.6. 如图,给出奇函数的局部图象，则的值为( )A. B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质可求的值.【详解】由图知，又为奇函数,所以.故选A.【点睛】本题考查奇函数性质，属于容易题.7. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式、分母、对数函
4、数定义域即可求得函数的定义域.详解】解：由有意义可得，所以函数的定义域为.故选：D.【点睛】方法点睛：求函数解析式定义域一般使得解析式有意义，参考如下：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)要求；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求8. 如图中的曲线是指数函数的图象，已知的取值分别为，则相应于曲线，的依次为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】取，根据图象，即可得出结果.【详解】不妨取，由指数函数的图象可知，的最大，其次是，然后是，最小的是，所以曲线
5、，的依次为，.故选：C9. 已知函数和满足，且为上的奇函数，求（ ）A. 6B. -6C. 7D. -7【答案】B【解析】【分析】由可得的值，再利用为上的奇函数求出，进而得出【详解】由，可得又为上的奇函数，则故故选：B10. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案详解：在(0,+)上单调递增，但为奇函数；为偶函数,且在(0,+)上单调递增；为偶函数,但在(0,+)上单调递减；在(0,+)上单调递增，但为非奇非偶函数.故选B.点睛：本题
6、主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.11. 已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）A. 是的既不充分也不必要条件B. 是的充分条件C. 是的必要不充分条件D. 是的充要条件【答案】BD【解析】【分析】由已知可得；，然后逐一分析四个选项得答案【详解】解：由已知得：；是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件正确的是B、D故选：BD【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题12. 定义，且，叫做集合的对称差，若集合，则以下说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别
7、计算，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.【详解】，故A正确；定义且，故B正确；，故C错误；，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案二、填空题（共4小题，每小题5分）13. 不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】，即或，所以不等式的解集为.故答案为：14. 设，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】依据题中条件:“ ”结合数轴求解即可，本题即要考虑对应点与区间的端点的关系即得.【详解】根据题意画出数轴，如图所示
8、，结合数轴:,对应的点必须在区间的左端点的左侧，.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是元素与集合、集合之间的关系，是基础题.15. 函数（其中且）的图象恒过定点，则点坐标是_【答案】【解析】试题分析：由指数函数的图象恒过点而要得到函数（其中且）的图象，可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位则点平移后得到点点的坐标是考点：指数函数的性质16. 函数取最小值时的值为_【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式可得何时取最小值.【详解】,当且仅当即时等号成立，故答案为：2.三、解答题（共70分）17. 已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）
9、，.【解析】【分析】（1）当时，求出集合，再由并集的定义可得答案（2）推导出，当时，当时，由此能求出实数的取值范围【详解】（1）当时，集合，集合（2）集合，集合因为，当时，解得，当时，解得实数的取值范围是，【点睛】本题考查交集、并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想的应用，是基础题18. 已知函数.（1）当，时，求函数的值域.（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称轴的位置可求函数的值域.（2）根据函数的单调性可得对称轴的位置，从而可求实数的取值范围.【详解】（1）当时，对称轴为直线，而，故，故函数的值域为.
10、（2）因为函数在上单调递增，故，故.19. 已知幂函数的图象经过点（）求函数的解析式；（）判断函数在区间（0，+）上的单调性，并用单调性的定义证明【答案】（）；（）在区间上是减函数【解析】【分析】(1)先设幂函数解析式，再代入点坐标解得参数 ，即得结果.(2)先根据幂指数正负判断增减性，再利用定义证明【详解】（）是幂函数，则设（是常数），的图象过点，故，即；（）在区间上是减函数证明如下：设，在区间上是减函数【点睛】本题考查幂函数解析式以及定义法证明单调性，考查基本求解能力与推理论证能力.20. 已知函数是指数函数(1)求的表达式；(2)判断的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：【答案】（1）（
11、2）见证明；（3）【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.(2) ，判断关系得到答案.(3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）函数是指数函数，且，可得或（舍去），；（2）由（1）得，是奇函数；（3）不等式：，以2为底单调递增，即，解集为【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.21. 已知函数.（1）求值；（2）求证：是定值；（3）求的值.【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）2018.【解析】【分析】（1）直接代入解析式计算即可.（2）计算化简即可得到答案.（3）首先根据（2）知，再计算原式结果即可.【详解】（1）因为，所以
12、.（2）因为，所以是定值.（3）因为，所以.点睛】本题主要考查根据解析式求函数值，属于简单题.22. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【答案】（1）88；（2）当时，最大，最大值为元.【解析】【分析】（1）根据题意租金为3600元时，未出租车俩，即可求解；（2）设每辆车的月租金定为元，写出公司月收益函数，利用二次函数的性质求其最大值即可.【详解】（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆。（2）设每辆车的月租金定为元，则公司月收益为，整理得：，当时，最大，最大值为元.【点睛】本题主要考查了二次函数模型在实际问题中的应用，属于中档题.
