1、3 向量的坐标表示和空间向量基本定理31 空间向量的标准正交分解与坐标表示32 空间向量基本定理01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、空间向量基本定理、标准正交基与向量坐标二、坐标的意义1投影的定义：一般地，若 b0为 b 的单位向量，称 ab0为向量在向量上的投影2坐标的意义：向量的坐标等于它在上的投影|a|cosa，bab坐标轴正方向疑难提示对基底的正确理解(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(2)由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0.(3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间
2、向量构成想一想1与坐标轴或坐标平面垂直的向量的坐标有何特点？提示：xOy 平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz 平面上的点的坐标为(0，y，z)，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z)另外还要注意向量OP 的坐标与点 P 的坐标相同练一练2已知 ABCD-ABCD是棱长为 2 的正方体，E、F 分别是 BB、BD的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点 E 的坐标为_，点 F 的坐标为_解析：由正方体的性质可知，EB平面 ABCD，如图，取 BD中点 G，连接 FG，则 FG平面
3、 ABCD，则 E、F 的横纵坐标分别为点 B、G 的横纵坐标，E、F 的竖坐标分别为 BE、GF.又正方体的棱长为 2，故 BE1，GF2.因此点 E 的坐标为(2,2,1)，点 F 的坐标为(1,1,2)答案：(2,2,1)(1,1,2)探究一 空间基底的判定典例 1 已知a，b，c是空间的一个基底，从 a、b、c 中选择哪一个向量，一定可以与向量 pab，qab 构成空间的另一个基底？解析 因为a，b，c是空间的一个基底，所以 a、b、c 三个向量一定不共面，因为 pab，qab，所以 p、q 与 a、b 共面，所以只能是向量 c 与 pab，qab构成空间的一个基底，否则，c 与 p、
4、q 共面，则与 a、b 共面，这与已知矛盾，所以向量 c 与 pab，qab 构成空间的一个基底判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断1设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc，则其中可以作为空间的基底的向量组有()A1 个 B2 个C3 个D4 个解析：结合正方体可知向量 x、y、z 不共面，b、c、z 和 x、y、abc 也不共面答案：C2给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，
5、d0，则a，b，d也可以作为空间的一个基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N 是空间四点，若BA，BM，BN 不能构成空间的一个基底，则 A，B，M，N 四点共面；已知a，b，c是空间的一个基底，若 mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底显然正确中由BA，BM，BN 不能构成空间的一个基底，知BA，BM，BN 共面又BA，BM，BN 过相同点 B，知 A，B，M，N 四点共面下面证明正确：假设 d与 a，b 共面，则存在实数，使得 d
6、ab，d 与 c 共线，c0，存在实数k，使得 dkc.d0，k0，从而 ckakb，c 与 a，b 共面，与条件矛盾，d 与 a，b 不共面同理可证也是正确的于是四个命题都正确，故选 D.答案：D探究二 空间向量的坐标表示典例 2 在直三棱柱 ABO-A1B1O1中，AOB2，AO4，BO2，AA14，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO、A1B 的坐标解析 DO OD(OO1 O1D)OO1 12(OA OB)OO1 12OA 12OB.又|OO1|4，|OA|4，|OB|2，DO(2，1，4)A1B OB OA1 OB(OA AA1)OB OA AA1.又|OB
7、|2，|OA|4，|AA1|4，A1B(4,2，4)(1)空间向量坐标表示的关键是根据几何体特征建立适当的空间直角坐标系，利用向量的线性运算最后写成标准正交基的线性组合(2)以原点为起点的向量的坐标就是向量终点的坐标3已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PAAD1.求MN，DC 的坐标解析：因为 PAADAB，且 PA平面 AC，ADAB，所以可设DA e1，AB e2，APe3.建立如图所示的空间直角坐标系因为MN MA APPNMA AP12PCMA AP12(PAAD DC)12e2e312(e3e1e2)12e112e3，所以MN
8、12，0，12，DC(0,1,0)4.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 DADC4，DD13，连接 A1B，B1C，A1C，如图建立空间直角坐标系(1)求A1B 与B1C 的坐标；(2)求A1C 在平面 ABCD 上的投影解析：(1)设 i，j，k 分别为DA，DC，DD1 方向上的单位向量，则A1B AB AA1 DC DD1 4j3k，B1C B1B B1C1 DD1 DA 4i3k，A1B(0,4，3)，B1C(4,0，3)(2)连接 AC(图略)，则A1C 在平面 ABCD 上的投影为|A1C|cosA1CA|AC|4 2.探究三 空间向量基本定理及其应用空定间理向及量其基
9、应本用 用基底表示向量 构造方程求参数值 求线段长度 求向量夹角5.已知在空间四边形 OABC 中，G、H 分别是ABC、OBC 的重心，设OA a，OB b，OC c，试用向量 a、b、c 表示向量OG 和GH.解析：OG OA AG，而AG 23AD，AD OD OA，又 D 为 BC 中点，OD 12(OB OC)，OG OA 23AD O A23(OD OA)OA 2312(OB OC)OA 13(OA OB OC)13(abc)而GH OH OG，又OH 23OD 2312(OB OC)13(bc)，GH 13(bc)13(abc)13a.OG 13(abc)，GH 13a.6已知正
10、方体 ABCD-ABCD，点 E 是上底面 ABCD的中心，求下列各式中 x，y，z 的值(1)BD xAD yAB zAA；(2)AE xAD yAB zAA.解析：(1)如图，BD BD DD BA BC DD AB AD AA，x1，y1，z1.(2)AE AA AE AA 12ACAA 12AB12ADAA 12AB 12AD，x12，y12，z1.7.如图，在正四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，O 是 AC 与BD 的交点，PO1，M 是 PC 的中点设AB a，AD b，AP c.(1)用向量 a，b，c 表示BM；(2)在如图所示的空间直角坐标系中，
11、求BM 的坐标解析：(1)BM BC CM，BC AD，CM 12CP，CP APAC，AC AB AD，BM AD 12(APAC)AD 12AP12(AB AD)12AB 12AD 12AP12a12b12c.(2)aAB(1,0,0)，bAD(0,1,0)A(0,0,0)，O12，12，0，P12，12，1，cAPOP OA 12，12，1，BM 12a12b12c12(1,0,0)12(0,1,0)1212，12，1 14，34，12.求向量投影时因不明两向量的夹角致误典例 如图，已知四边形 ABCD 是正方形，若 PA平面 ABCD，且 PAAB1，求：(1)向量PD 在PA上的投影；(2)向量PC在AP上的投影解析(1)PD 在PA上的投影为|PD|cosAPD|PA|1.(2)向量PC与AP的夹角为 APC，故PC在AP上的投影为|PC|cos(APC)|PA|1.错因与防范 本例(2)易误认为PC与AP的夹角为APC 致误，在不建立坐标系的情况下，求一个向量在另一个向量上的投影或求两向量的数量积，一定要搞清两向量的夹角，可把一个向量平移使两向量有公共起点再确定其夹角03课时 跟踪训练
