1、32 双曲线的简单性质01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练双曲线的几何性质类型x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形焦点性质焦距(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)2c类型x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)范围对称性关于x轴，y轴，原点对称顶点轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率性质渐近线yabxx(，aa，)y(，aa，)(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)eca1ybax疑难提示双曲线的渐近线与双曲线的方程之间的关系(1)双曲线x2a2y2b21 的渐近线为 ybax，双曲线y2a2x2b21 的渐近
2、线为 yabx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程(2)双曲线确定时，渐近线唯一确定，渐近线确定时，双曲线并不唯一确定(3)若已知渐近线方程为 mxny0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，可用下面的方法来解决分两种情况设出方程进行讨论依据渐近线方程，设出双曲线方程 m2x2n2y2(0)，求出 即可想一想1双曲线的离心率对双曲线有何影响？提示：eca，e1，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大(1)离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小bac2a2a2 e21，e 越大，ba越大，双曲线开口
3、越大(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率 e 2.练一练2双曲线 2x2y28 的实轴长是()A2 B2 2 C4 D4 2解析：2x2y28，x24 y281，a2，2a4.答案：C3若双曲线x24 y2b21(b0)的渐近线方程为 y12x，则 b 等于_解析：x24 y2b21(b0)的渐近线为 y12bx，由题意知12b12，b1.答案：1探究一 由双曲线方程研究其几何性质典例 1 求双曲线 9y216x2144 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程、离心率解析 双曲线方程可化为y216x29 1.因为 a4，b3，c2a2b225，所以 c5.所以实轴长 2a8；虚轴长 2b
4、6；焦点坐标为(0，5)，(0,5)；顶点坐标为(0，4)，(0,4)；渐近线方程为 y43x；离心率 eca54.根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”对称轴、渐近线；“两比率”离心率、渐近线的斜率双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置(x 轴、y 轴)有关1已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲
5、线 C 的虚轴长为()A3 B6C9 D12解析：因为双曲线的右焦点为 F2(5,0)，且离心率为 eca54，所以 c5，a4，故 b2c2a29，所以虚轴长为 2b6.答案：B2求双曲线 4x2y24 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图解析：将 4x2y24 变形为 x2y241，即x212y2221.a1，b2，c 5.因此顶点为 A1(1,0)，A2(1,0)；焦点为 F1(5，0)，F2(5，0)；实半轴长是 a1，虚半轴长是 b2；离心率 eca 51 5；渐近线方程为 ybax2x，草图如图所示探究二 由双曲线的几何性质求标准方程典例 2 根
6、据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过 P(3，5)，离心率为 2；(2)与椭圆x29 y241 有公共焦点，且离心率 e 52；(3)F1、F2 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且F1PF260，SPF1F212 3，又离心率为 2；(4)与双曲线x29 y2161 有共同渐近线，且过点(3，2 3)解析(1)若双曲线的焦点在 x 轴上，设为x2a2y2b21(a0，b0)e 2，c2a22，即 a2b2.又过点 P(3，5)，有 9a2 5b21，由得 a2b24，双曲线方程为x24 y241.若双曲线的焦点在 y 轴上，设为y2a2x2b21(a0，b0)同理有 a2b25a
7、2 9b21由得 a2b24(不合题意，舍去)综上，双曲线的标准方程为x24 y241.(2)由椭圆方程x29 y241，知长半轴 a13，短半轴 b12，半焦距 c1 a21b21 5，所以焦点是 F1(5，0)，F2(5，0)因此双曲线的焦点也为(5，0)和(5，0)，设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)由题设条件及双曲线的性质，有c 5c2a2b2ca 52，解得a2b1.即双曲线方程为x24 y21.(3)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，因|F1F2|2c，而 eca2，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2ac.由余弦定理得(2c)2|PF1|2|PF2|2
8、2|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos 60)化简，得 4c2c2|PF1|PF2|.又 SPF1F212|PF1|PF2|sin 6012 3，所以|PF1|PF2|48.即 3c248，c216，得 a24，b212.故所求双曲线的方程为x24 y2121.(4)双曲线x29 y2161 的渐近线方程为 y43x，设所求双曲线方程为x29 y216(0)将点(3,2 3)代入得 14，双曲线方程为x29 y21614，即x294y241.1已知双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由
9、题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏2若已知双曲线的渐近线方程为xayb0，求双曲线方程时，为避免讨论，可设双曲线方程为x2a2y2b2(0)，再根据其他条件确定 的值3与双曲线y24x21 有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为()A.y23x2121 B.x23 y2121C.y22x28 1 D.x22 y281解析：设与双曲线y24x21 有共同的渐近线的双曲线方程为y24x20，双曲线过点(2,2)，444，3，所求双曲线的方程为y24x23，即x23 y2121，故选B.答案：B4(1)已知双曲线的焦点在
10、y 轴上，实轴长与虚轴长之比为 23，且经过 P(6，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在 x 轴上，离心率为53，且经过点 M(3，2 3)的双曲线方程解析：(1)设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)依题意可得ab23，4a2 6b21a243，b23.故所求双曲线方程为34y213x21.(2)设所求双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)e53，e2c2a2a2b2a21b2a2259，ba43.9a212b21，解得a294，b24.所求的双曲线方程为x294y241.探究三 直线和双曲线的位置关系典例 3 已知双曲线 x2y24，直线 l：yk(x1)，讨论双曲线与直线公
11、共点的个数解析 联立方程组ykx1x2y24消去 y，得(1k2)x22k2xk240.(*)(1)当 1k20，即 k1 时，方程(*)化为 2x5，方程组有一解故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行(2)当 1k20，即 k1 时；由 4(43k2)0，得2 33 k2 33 且 k1，此时方程(*)有两解，方程组有两解故直线与双曲线有两个公共点由 4(43k2)0，得 k2 33，此时方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切由 4(43k2)0，得 k2 33，此时方程组无解，故直线与双曲线无公共点；综上所述，当 k1 或 k2 33 时，直线与双曲线有
12、一个公共点；当2 33 k1或1k1 或 1k2 33 时，直线与双曲线有两个公共点；当 k2 33 时，直线与双曲线无公共点把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知量，如消去 y，得到一个方程 ax2bxc0，则(1)a0 时，方程为一元二次方程0，则直线与圆锥曲线相交，有两个公共点；0，则直线与圆锥曲线相切，有且只有一个公共点；0 x1x2 2k1k20，1k 2.设 M(x0，y0)，则x0 x1x22k1k2y0kx0111k2，由 P(2,0)，M(k1k2，11k2)，Q(0，b)三点共线，不难得出，b22k2k2.设(k)2k2k22(k14)2178.(k)在(1，2)上为减
13、函数，(2)(k)(1)且(k)0.(2 2)(k)0 或 0(k)1，b2.即 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为(，2 2)(2，)探究四 与渐近线、离心率有关的问题与率渐有近关线的、问离题心 利用双曲线定义求离心率 求双曲线的渐近线方程 利用渐近线方程求离心率 利用渐近线方程求双曲线方程 利用方程思想求双曲线的离心率6若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长是焦距的12，则该双曲线的渐近线方程是()Ay 32 x By 2xCy 3xDy2 2x解析：由题可知 2a122cc，则 4a2c2a2b2，解得b2a23，所以ba 3，故该双曲线的渐近线方程是 y 3x，选 C.
14、答案：C7已知双曲线的渐近线方程为 y34x，求此双曲线的离心率解析：当焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 ybax，依题意，得ba34，b34a，c a2b254a，eca54；当焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为 yabx，依题意，得ab34，b43a，c a2b253a，eca53.此双曲线的离心率为54或53.8已知双曲线的渐近线方程是 y23x，焦距为 2 26，求双曲线的标准方程解析：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程为x2a21y2b211(a10，b10)由题意知b1a123c21a21b2126，解得a2118b218，此时双曲线的标准方程为x218y281.当
15、双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程为y2a22x2b221(a20，b20)，由题意知a2b223c22a22b2226，解得a228b2218，此时双曲线的标准方程为y28x2181.综上，所求双曲线的标准方程为x218y281 或y28x2181.9已知点 F 为双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，直线 ykx(k0)与 E交于 M，N 两点，若 MFNF，设MNF，且 12，6，求该双曲线的离心率的取值范围解析：如图，设双曲线的左焦点为 F，半焦距为 c，连接 MF，NF.由于MFNF，所以四边形 FNFM 为矩形，故|MN|FF|2c.在 RtNFM 中，
16、|FN|2ccos，|FM|2csin，由双曲线的定义可得 2a|NF|NF|NF|FM|2ccos 2csin 2 2ccos4，eca12cos4.126，34512，312 2cos4 22，2e 31，即双曲线的离心率的取值范围是 2，31忽视双曲线焦点位置致误典例 已知双曲线x2my2n1 的一条渐近线方程为 y43x，则该双曲线的离心率 e为_解析 当双曲线的焦点在 x 轴上时，因为一条渐近线方程为 y43x，所以ba43，所以离心率 eca1ba2143253.当双曲线的焦点在 y 轴上时，因为一条渐近线方程为 y43x，所以ab43，这时ba34.所以离心率 eca1ba2134254.故双曲线的离心率为53或54.答案 53或54错因与防范(1)本例易主观认为焦点在 x 轴上，忽略考虑焦点在 y 轴上的情况而漏解(2)一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件，要注意焦点位置的讨论，如本例中分焦点在 x 轴上或在 y 轴上两种情况讨论03课时 跟踪训练
