1、2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）直线l：3x+y+30的倾斜角为（）A30B60C120D1502（5分）椭圆x24+y23=1的焦点坐标为（）A（5，0）B（1，0）C(5，0)D(7，0)3（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，AD=c，E为棱BB1的中点，则向量DE可用向量a，b，c表示为（）Aa+12b+12cB12a-b+12cC12a-12b-cD12a+b-c4（5分）若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y
2、+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D-235（5分）设圆C1：x2+y22x+4y4，圆C2：x2+y2+6x8y0，则圆C1，C2的公切线有（）A1条B2条C3条D4条6（5分）若直线yx+b与曲线x=1-y2有两个公共点，则b的取值范围是（）A1，1B1，2C1，2）D（1，2）7（5分）已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1PF2若PF1F2的面积为9，则实数b的值为（）A3B4C5D68（5分）已知点P为直线yx+1上的一点，M、N分别为圆C1：（x4）2+（y1）24与圆：C2：x2+（y4）21上的点，则|PM|+|P
3、N|的最小值为（）A5B6C2D1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知直线l：3x+y20，则（）A倾斜角为60B恒过点（0，2）C直线l的方向向量为(1，-3)D在x轴上的截距为2（多选）10（5分）已知方程x26-m+y2m-2=1表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A当m6或m2时，曲线C是双曲线B当2m6时，曲线C是椭圆C若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则m6D若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则2m4（多选）11（5分）过点P（2，1）作圆O：x2+y21
4、的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）A|PA|=3B四边形PAOB的外接圆方程为x2+y22x+yC直线AB方程为y2x+1D三角形PAB的面积为85（多选）12（5分）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F（3，0），椭圆的短轴与半圆的直径重合若直线yt（t0）与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）A椭圆的离心率是22B线段AB长度的取值范围是(0，3+32)CABF的面积存在最大值DAOB的周长存在最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分
5、）已知a=(1，1，0)，b=(2，1，1)，则向量a与b的夹角为 14（5分）双曲线y2-x22=1的渐近线方程为 15（5分）若直线kxy+12k0与圆x2+y29分别交于M、N两点则弦MN长的最小值为 16（5分）已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1，（a0，b0），两焦点分别为F1，F2，直线AB经过F2与双曲线交于A，B两点，其中ABAF1且2|AF2|F2B|，则此双曲线离心率为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）ABC的三个顶点分别是A（3，0），B（2，1），C（2，3）（1）求BC边的垂直平分线DE所在直线方程；（2）
6、求ABC内BC边上中线AD方程18（10分）已知圆心为C（0，3），且经过点(2，2)的圆（1）求此圆C的方程；（2）直线l：yax与圆C相交于A、B两点若ABC为等边三角形，求直线l的方程19（15分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC的中点，且PBAM（1）求线段BC的长度；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值20（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为(14，15)，求直线l的方程21（10分）如
7、图，直三棱柱ABCA1B1C1，AB1BC（1）证明：BCAB；（2）设D为A1C的中点，AA1ABBC2，求二面角ABDC的余弦值22（10分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，F（1，0）为其左焦点，过F的直线l与椭圆交于A，B两点（1）求椭圆E的标准方程；（2）试求OAB面积的最大值以及此时直线l的方程2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）直线l：3x+y+30的倾斜角为（）A30B60C120D150【解答】
8、解：由于直线l：3x+y+30的倾斜角为，则直线的斜率tan=-3，再由0180，可得 120，故选：C2（5分）椭圆x24+y23=1的焦点坐标为（）A（5，0）B（1，0）C(5，0)D(7，0)【解答】解：椭圆x24+y23=1，a2，b=3，则c=a2-b2=4-3=1，则焦点坐标为（1，0）故选：B3（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，AD=c，E为棱BB1的中点，则向量DE可用向量a，b，c表示为（）Aa+12b+12cB12a-b+12cC12a-12b-cD12a+b-c【解答】解：因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，
9、AD=c，E为棱BB1的中点，如图所示，BE=12a，DB=AB-AD=b-c，DE=DB+BE=b-c+12a=12a+b-c，故选：D4（5分）若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D-23【解答】解：直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，可得12=m(1+m)m-2，得：m1，故选：A5（5分）设圆C1：x2+y22x+4y4，圆C2：x2+y2+6x8y0，则圆C1，C2的公切线有（）A1条B2条C3条D4条【解答】解：圆C1：x2+y22x+4y4圆C1：(x-1)2+(y+2)2=32，则圆心C1（1，2），半径为3，圆C
10、2：x2+y2+6x8y0圆C2：(x+3)2+(y-4)2=52，则圆心C2（3，4），半径为5，5-3|C1C2|=2135+3，C1与C2相交，有2条公切线故选：B6（5分）若直线yx+b与曲线x=1-y2有两个公共点，则b的取值范围是（）A1，1B1，2C1，2）D（1，2）【解答】解：曲线x=1-y2表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆在直线y0右侧的部分，如图所示，当直线yx+b与圆x=1-y2相切时，b=2；当直线过点（0，1）时，b1，此时有两个交点实数b的范围是1b2，故选：C7（5分）已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且P
11、F1PF2若PF1F2的面积为9，则实数b的值为（）A3B4C5D6【解答】解：由题意得|PF1|+|PF2|2a，PF1PF2，PF1F2的面积为9，SPF1F2=12|PF1|PF2|=9，即|PF1|PF2|18，且|PF1|2+|PF2|2=4c2，(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2，即4a2364c2，a2c29，解得b3，故选：A8（5分）已知点P为直线yx+1上的一点，M、N分别为圆C1：（x4）2+（y1）24与圆：C2：x2+（y4）21上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A5B6C2D1【解答】解：如图所示，由圆C1：(x-4)2+(y-1)2
12、=4，可得圆心C1（4，1），半径为r12，圆C2：x2+(y-4)2=1，可得圆心C2（0，4），半径为r21，可得圆心距|C1C2|=(4-0)2+(1-4)2=5，所以|PM|+|PN|5r1r22，当M，N，C1，C2，P共线时，取得最小值，故|PM|+|PN|的最小值为2故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知直线l：3x+y20，则（）A倾斜角为60B恒过点（0，2）C直线l的方向向量为(1，-3)D在x轴上的截距为2【解答】解：对于A，直线l：3x+
13、y20，即y=-3x+2，故直线斜率k=-3，倾斜角为120，故A错误；对于B，点（0，2）满足方程3x+y20，故B正确；对于C，直线l的斜率为-3，（1，-3）与原点连线斜率也是-3，与直线平行，故直线l的方向向量为(1，-3)，故C正确；对于D，直线l：3x+y20，令y0，解得x=233，故在x轴上的截距为233，故D错误故选：BC（多选）10（5分）已知方程x26-m+y2m-2=1表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A当m6或m2时，曲线C是双曲线B当2m6时，曲线C是椭圆C若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则m6D若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则2m4【解答】解：对A选项，若
14、曲线C为双曲线，则（6m）（m2）0，解得m6或m2，A选项正确；对B选项，若曲线C为椭圆，则6-m0m-206-mm-2，解得2m4或4m6，B选项错误；对C选项，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则m26m0，解得4m6，C选项错误；对D选项，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则6mm20，解得：2m4，D正确故选：AD（多选）11（5分）过点P（2，1）作圆O：x2+y21的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）A|PA|=3B四边形PAOB的外接圆方程为x2+y22x+yC直线AB方程为y2x+1D三角形PAB的面积为85【解答】解：对于A，由题意，|PO|=22+12=5，由勾股
15、定理可得，|PA|=(5)2-12=2，故选项A错误；对于B，由题意可知，PBOB，则PO为所求圆的直径，所以线段PO的中点为(1，12)，半径为55，则所求圆的方程为(x-1)2+(y-12)2=54，化为一般方程为x2+y22x+y，故选项B正确；对于C，由题意，其中一个切点的坐标为（0，1），不妨设为点B，则ABOP，又kOP=12，所以kAB2，所以直线AB的方程为y2x+1，故选项C错误；对于D，因为POAB，且直线OP的方程为y=12x，直线AB的方程为y2x+1，联立方程组y=12xy=-2x+1，解得x=25y=15，所以两条直线的交点坐标为D(25，15)，则|BD|=(25
16、)2+(15-1)2=255，|PD|=(25-2)2+(15-1)2=455，故PBD的面积为12455255=45，所以PAB的面积为85，故选项D正确故选：BD（多选）12（5分）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F（3，0），椭圆的短轴与半圆的直径重合若直线yt（t0）与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）A椭圆的离心率是22B线段AB长度的取值范围是(0，3+32)CABF的面积存在最大值DAOB的周长存在最大值【解答】解：对于A：由题意得半圆的方程为x2+y29（x0
17、），设半椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0，x0)，又椭圆的短轴与半圆的直径重合，即bc3，则a=32，则半椭圆的方程为x218+y29=1(x0)，则椭圆的离心率e=332=22，故A正确；对于B：直线yt（t0）与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则线段AB长度的取值范围是(0，3+32)，故B正确；对于C：不妨设A（x1，t），B（x2，t），则由x12+t29（x10）得x1=-9-t2，由x2218+t29=1（x20）得x2=18-2t2；则SABF=12(18-2t2+9-t2)t=2+129-t2t2+12(9-t2)2+t22=9(2+1)4，当且仅当t=322时等号成
18、立，故C正确；对于D：OAB的周长为l(t)=|OA|+|OB|+|AB|=3+(2+1)9-t2+18-t2，则l（t）在（0，3）上单调递减，则OAB的周长不存在最大值，故D错误，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知a=(1，1，0)，b=(2，1，1)，则向量a与b的夹角为 6【解答】解：因为a=(1，1，0)，b=(2，1，1)，cosa，b=ab|a|b|=2+112+1222+12+12=32a，b=6，故答案为：614（5分）双曲线y2-x22=1的渐近线方程为 y=22x【解答】解：因为双曲线y2-x22=1，焦点在y轴，a1，b=2，渐
19、近线方程为y=22x故答案为：y=22x15（5分）若直线kxy+12k0与圆x2+y29分别交于M、N两点则弦MN长的最小值为 4【解答】解：由圆x2+y29，可得圆心O（0，0），半径为3，又直线kxy+12k0，可化为k（x2）y+10，直线过定点P（2，1），又22+129，点P在圆的内部，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时OPMN，此时|MN|=232-|OP|2=29-(22+12)=4，故答案为：416（5分）已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1，（a0，b0），两焦点分别为F1，F2，直线AB经过F2与双曲线交于A，B两点，其中ABAF1且2|AF2|F2B|，则
20、此双曲线离心率为 173【解答】解：连接BF1，设|AF2|m，则|F2B|2m，由双曲线的定义可得|F1B|F2B|+2a2m+2a，|F1A|F2A|+2am+2a，在直角AF1B中，|F1A|2+|BA|2=|F1B|2，即（2a+m）2+（3m）2（2m+2a）2，化简可得m=23a，在直角AF1F2中，|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2，即（2a+m）2+m2（2c）2，将m=23a代入上式，可得(2a+23a)2+(23a)2=(2c)2，整理可得c2a2=179，所以e=ca=173，故答案为：173四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
21、骤.17（10分）ABC的三个顶点分别是A（3，0），B（2，1），C（2，3）（1）求BC边的垂直平分线DE所在直线方程；（2）求ABC内BC边上中线AD方程【解答】解：（1）由B（2，1），C（2，3）可得线段BC的中点为（0，2），kBC=1-32-(-2)=-12，因为DE是BC边的垂直平分线，所以kDE2，则DE所在直线方程：y22x即2xy+20；（2）由（1）可得线段BC的中点为（0，2），故BC边上中线AD方程为x-3+y2=1即2x3y+60，所以ABC内BC边上中线AD方程：2x3y+60（3x0）18（10分）已知圆心为C（0，3），且经过点(2，2)的圆（1）求此圆C的
22、方程；（2）直线l：yax与圆C相交于A、B两点若ABC为等边三角形，求直线l的方程【解答】解：（1）因为圆心为C（0，3），所以圆C的方程设为x2+（y3）2r2，该圆过(2，2)，所以(2)2+(2-3)2=r2r2=3，所以圆C的方程为x2+（y3）23；（2）由（1）可知该圆的半径为3因为ABC为等边三角形，且边长为3，所以该等边三角形的高为(3)2-(123)2=32，所以圆心C到直线l：yax的距离为32，即|-3|a2+(-1)2=32a2=3a=3，所以直线l的方程为y=3x或y=-3x19（15分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC的中
23、点，且PBAM（1）求线段BC的长度；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值【解答】解：（1）PD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系Dxyz，设BC2a，则D（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（2a，1，0），M（a，1，0）、A（2a，0，0），PB=(2a，1，-1)，AM=(-a，1，0)，PBAM，PBAM=-2a2+1=0，解得a=22，BC=2a=2；（2）PA=(2，0，-1)，BC=(-2，0，0)，BP=(-2，-1，1)，设平面PBC的法向量为n=(x1，y1，z1)，则nBC=-
24、2x1=0nBP=-2x1-y1+z1=0，取n=(0，1，1)，cosPA，n=PAn|PA|n|=-132=-66，直线PA与平面PBC所成角正弦值为6620（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为(14，15)，求直线l的方程【解答】解：（1）2c6，c3，又椭圆上的点到两焦点距离之和为2a，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为2a+2c16a5，c3，b2a2c216，椭圆C的标准方程为x225+y216=1；（2）设A（x1，y1），B（
25、x2，y2），则x1225+y1216=1x2225+y2216=1，两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)25=-(y1+y2)(y1-y2)16，(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2)=-1625，(14，15)为线段AB的中点，x1+x2=12，y1+y2=25，直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=-1625x1+x2y1+y2=-162554=-45，直线l的方程为y-15=-45(x-14)，即4x+5y2021（10分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1，AB1BC（1）证明：BCAB；（2）设D为A1C的中点，AA1ABBC2，求二面角ABDC的余弦值【解答】
26、解：（1）证明：直三棱柱ABCA1B1C1，BB1平面ABC，又BC平面ABC，BCBB1，又BCAB1，且AB1BB1B1，AB1，BB1平面A1ABB1，BC平面A1ABB1，又AB平面A1ABB1，BCAB；（2）BC，BA，BB1两两垂直，建立如图，则根据题意可得：A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D（1，1，1），BD=(1，1，1)，BA=(0，2，0)，BC=(2，0，0)，设平面ABD的一个法向量m=(x，y，z)，则mBD=x+y+z=0mBA=2y=0，取m=(1，0，-1)，设平面BDC的一个法向量n=(a，b，c)，则nBD=a+b+c=0nBC=2
27、a=0，取n=(0，1，-1)，cosm，n=mn|m|n|=122=12，又由图可知所求角为钝角，二面角ABDC的余弦值为-1222（10分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，F（1，0）为其左焦点，过F的直线l与椭圆交于A，B两点（1）求椭圆E的标准方程；（2）试求OAB面积的最大值以及此时直线l的方程【解答】解：（1）根据题意可得c1，又离心率e=ca=12，a2，b=a2-c2=3，椭圆E的标准方程为x24+y23=1；（2）显然直线l不垂直于y轴，设其方程为xmy1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x=my-13x2+4y2=12，消去x得（3m2+4）y26my90，y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=36m2(3m2+4)2+363m2+4=12m2+13m2+4，OAB的面积SOAB=12|OF|y1-y2|=6m2+13m2+4=63m2+1+1m2+1，令m2+1=t1，3m2+1+1m2+1=3t+1t，又易知y=3t+1t在t1，+）上单调递增，当t1，即m0时，3m2+1+1m2+1取得最小值4，SOAB取得最大值32，此时直线l：x1，OAB面积的最大值为32，此时直线l的方程x1
