1、天津市第九十五中学2021届高三数学上学期模拟考试试题（一）本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分) 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集U0，1，2，3，4，5，集合A1，5，集合B2，则集合(UA)B()A0，2，3，4 B0，3，4 C2 D2“sinx0”是“cosx1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百一十五里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，
2、要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为()A180里 B170里 C160里 D150里4函数f(x)的部分图象大致为()5m，n是不同的直线，是不重合的平面，下列说法正确的是()C若，m，则mDm，n是异面直线，若m，m，n，n，则6已知函数g(x)exex，f(x)xg(x)，若af，bf(0.2)，cf(51.2)，则a，b，c的大小关系为()Abac Bcba Cbca Dab0，b0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是M，且F1MF2的
3、三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A. B. C5 D89已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且当0x2时，f(x)minx22x，2x，若方程f(x)(2t1)x0恰有两个根，则t的取值范围是()A. B.C. D.第卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在相应的横线上)10若复数是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为_11若的展开式中常数项为第9项，则此时所有项的二项式系数和为_12圆x2y22与圆x2y24x4y40的公共弦长为_13近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(Air Quality I
4、ndex, 简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为_；记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量X的数学期望为_14已知x0，y0，且2x2y9，则xy的最大值为_15如图，在ABC中，BAC，3，P为CD上一点，且满足m，若ABC的面积为，则|的最小值为_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知函数f(x)2sinxcosx
5、2sin2x1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)2，C，c2，求ABC的面积17(本小题满分15分)已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，CD平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；(3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由18(本小题满分15分)椭圆1(ab0)的短轴长与其焦距相等，且四个顶点构成面积为2的菱形(1)求
6、椭圆的标准方程；(2)过点A(1，0)且斜率不为0的直线l与椭圆交于M，N两点，记MN中点为B，坐标原点为O，直线BO交椭圆于P，Q两点，当四边形MPNQ的面积为时，求直线l的方程19(本小题满分15分)已知数列an满足a12a23a3(n1)an1nan.(1)求a2的值；(2)若，则求出T2 020的值；(3)已知bn是公比q大于1的等比数列，且b1a1，b3a5，设cnbn1，若cn是递减数列，求实数的取值范围20(本小题满分16分)设kR，设函数f(x)，g(x)kxke，其中e为自然对数的底数(1)若k1，记F(x)f(x)g(x)，则判断函数F(x)在区间(1，)上是否有零点；(2
7、)证明：对任意的kR，函数f(x)的切线不可能是直线yg(x)；(3)设n(x)2lnxke，试判断函数h(x)xn(x)g(x)是否存在极小值，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由数学答案1A命题立意本题考查集合的并集、补集运算解析UA0，2，3，4，(UA)B0，2，3，4，故选A.2B命题立意本题考查充分、必要条件解析当sinx0时，cosx1；当cosx1时，sinx0，“sinx0”是“cosx1”的必要不充分条件，故选B.3C命题立意本题考查等比数列的前n项和公式解析该人每天所走路程构成等比数列记为an，则q，S6315，第一天所走路程为a1，S6，解得a1160，故选C
8、.4A命题立意本题考查函数的图象与性质解析f(x)的定义域为x|x0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B、C；当x时，cosx0，ln(x)0，f(x)0，排除D，故选A.5D命题立意本题考查空间线、面位置关系解析对于A，当m与n为相交直线时，才有，A错；对于B，mn或m，n异面，B错；对于C，m或m，C错；D正确，故选D.6A命题立意本题考查函数的单调性、奇偶性解析g(x)exex在R上单调递增，且为奇函数，f(x)xg(x)为偶函数在(0，)上单调递增，aff(ln3)，00.21ln351.2，f(0.2)f(ln3)f(51.2)，即bac，故选A.7D命题立
9、意本题考查正弦型函数的图象和性质、图象变换解析由题意知T4，A1，2，fsin1，2k，kZ，2k，kZ，|，f(x)sin，又g(x)cossin，只需将f(x)的图象向左平移个单位长度，故选D.8C命题立意本题考查等差数列、双曲线的几何性质解析F1MF2的三条边长成等差数列，不妨设|F2M|md，|F1M|m，|F1F2|md，则解得e5，故选C.9B命题立意本题考查分段函数、方程的根解析f(x)minx22x，2x又f(x)是定义在R上的偶函数，周期为4.画出图象如图，方程f(x)(2t1)x0恰有两根，即yf(x)与y(2t1)x的图象恰有两个交点当y(2t1)x与f(x)x22x(0
10、x1)相切时t，当y(2t1)x过点B(3，1)时t，当y(2t1)x与f(x)x22x(1x0)相切时t，当y(2t1)x过点D(3，1)时t.结合图象得t或t0，y0，2x2y9，92(xy)2(xy)2(xy).令xyt，则92t(t0)，2t29t40，t4，xy的最大值为4.15.命题立意本题考查向量的线性运算、向量的模、向量的数量积、基本不等式解析3，mm，C、P、D三点共线，m1，m.即，|2222|cos|.SABC|AB|AC|sin，|AB|AC|6，|，即|的最小值为.16命题立意本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的单调区间、正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题
11、思路(1)利用二倍角公式，辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，利用复合函数单调性，求f(x)的单调区间；(2)由(1)及f(A)2求出角A，由正弦定理求出a边，再由余弦定理解方程得b边，代三角形面积公式即可解(1)f(x)2sinxcosx2sin2x1sin2xcos2x2sin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)f(A)2sin2，sin1.A(0，)，2A，2A，解得A，C，c2，由正弦定理，可得a，由余弦定理a2b2c22bccosA，可得6b242b2，解得b1(负值舍去)，SABCabsinC(1).17命题立意本题考查线面垂直的证明
12、、二面角、线面角解题思路(1)由已知先证明POAD，POCD，由线面垂直判定定理得PO平面ABCD；(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面EFG和平面ABCD的一个法向量，利用向量法得二面角的余弦值，从而得到二面角的大小；(3)假设存在点M满足题意，设写出，利用向量法及已知线面角的大小求出值即可，若无解，则点M不存在解(1)证明：因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以POAD.又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以POCD.ADCDD，AD，CD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(2)如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则O(0，0，0
13、)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(2，4，0)，D(2，0，0)，G(0，4，0)，P(0，0，2)，E(1，2，)，F(1，0，)，(0，2，0)，(1，2，)设平面EFG的法向量为m(x，y，z)，所以即令z1，则m(，0，1)又平面ABCD的法向量n(0，0，1)，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以cos.所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为.(3)假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，直线GM与平面EFG法向量m所成的角为，设，0，1，(2，0，2)M，所以所以cos|cos，m|，整理得22320，0，方程无解，所以，不存在这样的点M.
14、18命题立意本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线的方程解题思路(1)由已知列方程组解出a，b写出椭圆方程；(2)设直线MN的方程与椭圆方程联立消x，利用韦达定理求出B点坐标，得OB的斜率，写出直线OB的方程与椭圆方程联立，消y，利用韦达定理及弦长公式求出弦长|PQ|的表达式，利用点到直线的距离公式求出M、N两点到直线OB的距离d1、d2，由S四边形MPNQ|PQ|(d1d2)求出直线MN的斜率即可解(1)因为短轴长与其焦距相等，所以2b2c.又a2b2c2，所以bc.因为4bb2，所以b1，a，故所求椭圆的标准方程为y21.(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2
15、)，直线MN的方程为xmy1，与椭圆方程联立，得(m22)y22my10设点B坐标为(xB，yB)，则有yB，xBmyB1，因此kOB.所以直线OB的方程为yx，与椭圆方程联立，得(m22)x24所以弦长|PQ|22.不妨设点M在直线OB：yx上方，则点N在直线OB：yx下方点M(x1，y1)到直线PQ的距离为d1，点N(x2，y2)到直线PQ的距离为d2.所以d1d22 .所以面积S|PQ|(d1d2)2 解得m2.因此直线l的方程为x2y10或x2y10.19命题立意本题考查Sn与an的关系、裂项相消求和、等比数列通项公式、数列单调性解题思路(1)由nan求得nan，从而得an，a2；(2
16、)由(1)结论得通项，裂项相消求和得Tn；(3)解方程组求出b1和q，写出bn的通项公式，得cn，利用cn11，所以q3.所以bnb1qn13n1，cnbn12n3n.因为cn是递减数列，所以cn1cn，即2n13n12n.所以xN*，恒成立又是递减数列，所以的最大值为第一项a1.所以，即实数的取值范围是.20命题立意本题考查函数零点、曲线的切线、函数的极值解题思路(1)由零点存在性定理判断即可；(2)假设存在k，使ykxke是yf(x)的切线，设切点坐标(x0，y0)，利用导数求切线斜率，写出切线方程与ykxke对应，整理得x02eelnx0(*)，构造函数s(x0)x02eelnx0，对s
17、(x0)求导，判单调，得(*)有唯一解x0e，由x0(0，e)(e，)得x0无解，即不存在(3)对h(x)求导，分k0、k、0k、k几种情况讨论h(x)的单调性、极值得k的取值范围解(1)当k1时，函数g(x)xe，令F(x)f(x)g(x)xe，x(1，)，则F(1)2e0，故F(1)F()0，h(x)1lnx2k(xe)，令m(x)1lnx2k(xe)，则m(x)2k，m(e)h(e)0.()当k0时，m(x)恒负，故当x(0，e)时，h(x)0，h(x)递增，当x(e，)时，h(x)0时，则m(x)在上递减，在上递增，若k，e，故h(x)在(0，e)上递减，在(e，)上递增，故x(0，)时，h(x)0，h(x)在(0，)递增，无极值，不合题意；当k时，0e.当x时，h(x)0，h(x)递增，故h(x)在xe处取极小值，符合题意当0ke，故m(x)在上递减，可得当x(0，e)时，h(x)0，当x时，h(x)，令p(k)2eln，k，令t2e，故q(t)2etlntt，则q(t)2et10，故q(t)在(2e，)递增，则q(t)q(2e)q(1)0，当k时，m0，而m1ln2k0，即0k0且k.
