1、十一 函数的最大值、最小值【基础全面练】(20 分钟 35 分)1下列函数在1，4上最大值为 3 的是()Ay1x 2 By3x2Cyx2Dy1x【解析】选 A.B，C 在1，4上均为增函数，A，D 在1，4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，A 符合题意2已知 f(x)x 1x，则()Af(x)max 2，f(x)无最小值Bf(x)min1，f(x)无最大值Cf(x)max1，f(x)min1Df(x)max1，f(x)min0【解析】选 C.f(x)x 1x的定义域为0，1，因为 f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)max1，f(x)min1.3设函数 f(x)2xx2 在区间3
2、，4上的最大值和最小值分别为 M，m，则m2M()A23 B38 C32 D83【解析】选 D.易知 f(x)2xx2 2 4x2，所以 f(x)在区间3，4上单调递减，所以Mf(3)2 432 6，mf(4)2 442 4，所以m2M 166 83.4函数 f(x)6x 3x 在区间2，4上的最大值为_.【解析】因为 y6x 在区间2，4上是减函数，y3x 在区间2，4上是减函数，所以函数 f(x)6x 3x 在区间2，4上是减函数，所以 f(x)maxf(2)62 324.答案：45函数 y1x，x3，1的最大值与最小值的差是_【解析】易证函数 y1x 在3，1上为增函数，所以 ymin1
3、3，ymax1，所以ymaxymin113 23.答案：236某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份 0.40 元，卖出价格是每份 0.60 元，卖不掉的报纸以每份 0.05 元的价格退回报社在一个月(按 30 天计算)里，有 18 天每天可卖出 400 份，其余 12 天每天只能卖出 180 份则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?【解析】设摊主每天从报社买进 x(180 x400，xN)份晚报，每月获利为 y 元，则有 y(0.600.40)(18x12180)(0.400.05)12(x180)0.6x1 188
4、，180 x400，xN.因为函数 y0.6x1 188 在180，400上是减函数，所以 x180 时函数取得最大值，最大值为 y0.61801 1881 080.故摊主每天从报社买进 180 份晚报时，每月获得的利润最大，为 1 080 元【补偿训练】求函数 yf(x)x2x3 在区间1，2上的最大值和最小值【解题指南】先证明函数 y x2x3 在区间1，2上的单调性，然后求最大值和最小值【解析】任取 x1，x2，且 1x1x22，则f(x1)f(x2)x21x13 x22x23x21 x23x21 x1x22 3x22（x13）（x23）（x2x1）3（x1x2）x1x2（x13）（x2
5、3），因为 1x1x22，所以 2x1x24，即 63(x1x2)12，又 1x1x24，x2x10，故 f(x1)f(x2)0.所以函数 y x2x3 在区间1，2上为减函数，ymaxf(1)12，yminf(2)4.【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1函数 f(x)2x6，x1，2，x7，x1，1，则 f(x)的最大值与最小值分别为()A10，6 B10，8C8，6 D以上都不对【解析】选 A.因为 x1，2时，f(x)max22610，f(x)min2168；x1，1时，f(x)max178，f(x)min176，所以 f(x)max10，f
6、(x)min6.2某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1x221x 和 L22x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为()A90 万元 B60 万元C120 万元 D120.25 万元【解析】选 C.设公司在甲地销售 x 台，则在乙地销售(15x)台，公司获利为 Lx221x2(15x)x219x30 x1922303614，所以当 x9 或 10时，L 最大为 120 万元3当 0 x2 时，ax22x 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0)D(0，)【解析】选 C.令 f(x)x22x，则 f(x
7、)x22x(x1)21.又因为 x0，2，所以 f(x)minf(0)f(2)0.所以 a0.4已知 yax1，在1，2上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是()A2 B2 C2 或2 D0【解析】选 C.当 a0 时，yax11，不符合题意；当 a0 时，yax1 在1，2上递增，则(2a1)(a1)2，解得 a2；当 a0 时，yax1 在1，2上递减，则(a1)(2a1)2，解得 a2.综上，得 a2.5设 c0，f(x)是区间a，b上的减函数，下列说法中正确的是()Af(x)在区间a，b上有最小值 f(a)B1f（x）在a，b上有最小值 f(a)Cf(x)c 在a，b上有最小
8、值 f(a)cDcf(x)在a，b上有最小值 cf(a)【解析】选 D.根据题意，依次分析选项：对于 A，f(x)是区间a，b上的减函数，则其在区间a，b上有最小值 f(b)，A 错误；对于 B，f(x)是区间a，b上的减函数，而函数1f（x）在a，b上单调性无法确定，其最小值无法确定，B 错误；对于 C，f(x)是区间a，b上的减函数，f(x)c 在区间a，b上也是减函数，其最小值为 f(b)c，C 错误；对于 D，f(x)是区间a，b上的减函数，且 c0，则 cf(x)是区间a，b上的增函数，则在a，b上有最小值 cf(a)，D 正确二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6已知函数 y
9、x22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是_【解析】f(x)(x1)22，因为 f(x)min2，f(x)max3，且 f(1)2，f(0)f(2)3，所以 1m2.答案1，27已知函数 f(x)x26x8，x1，a，并且 f(x)的最小值为 f(a)，则实数 a 的取值范围是_【解析】如图 f(x)的单调递减区间为(，3，又因为 f(x)在1，a上的最小值为 f(a)，所以1，a(，3，所以 1a3.答案：(1，38当 x(1，2)时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是_【解析】设 f(x)x2mx4，则 f(x)的图象开口向上，对称轴为 xm
10、2.(1)当m2 1 时，即 m2 时，满足 f(2)42m40，所以 m4，又 m2，所以此时无解(2)当m2 2，即 m4 时，需满足 f(1)1m40，所以 m5，又 m4，所以 m5.(3)当 1m2 2，即4m2 时，需满足4m0的图象如图所示(1)f(x)在，12和0，)上是增函数，在12，0上是减函数，因此 f(x)的单调递增区间为，12，0，)；单调递减区间为12，0.(2)结合函数单调性，又因为 f1214，f1234，所以 f(x)在区间1，12上的最大值为34.【补偿训练】已知函数 f(x)x2(2a1)x3.(1)当 a2，x2，3时，求函数 f(x)的值域(2)若函数
11、 f(x)在1，3上的最大值为 1，求实数 a 的值【解析】(1)当 a2 时，f(x)x23x3x322214，对称轴为 x32 3，所以函数在2，32上为单调递减函数，在32，3上为单调递增函数，所以当 x2，3时，f32f(x)f(3)，f(3)15，f32214，所以当 a2，x2，3时，该函数的值域为214，15.(2)函数 f(x)x2(2a1)x3 的对称轴是 x12 a.当12 a1 时，函数 f(x)在1，3上的最大值为 f(1)2a11，所以 a1合题意；当12 a0.(1)判断函数 f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论(2)若 f(x)m25mt5 对所
12、有 x1，1，t1，1恒成立，求实数 m 的取值范围【解析】(1)函数 f(x)在1，1上是增函数设1x1x21，因为 f(x)f(x)，所以 f(x2)f(x1)f(x2)f(x1).又1x10，由题设f（x2）f（x1）x2（x1）0 有 f(x2)f(x1)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在1，1上是增函数(2)由(1)知 f(x)maxf(1)1，所以 f(x)m25mt5 对任意 x1，1恒成立，只需 1m25mt5 对 t1，1恒成立，即 m25mt60 对 t1，1恒成立，设 g(t)m25mt6，则g（1）0，g（1）0，m25m60，m25m60，m6或m1，m1或m6，解得 m6 或 m6.所以 m 的取值范围是(，66，).
