1、高考资源网（） 您身边的高考专家选修12第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用填一填1.线性回归模型(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，其中(，)称为样本点的中心(4)线性回归模型ybxae，其中a和b是模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量2残差的概念对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)而言，它们的随机误差
2、为eiyibxia，i1,2，n，其估计值为iyiiyixi，i1,2，n，i称为相应于点(xi，yi)的残差3刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高(2)残差平方和法残差平方和(yii)2越小，模型拟合效果越好(3)利用R2刻画回归效果R21，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率R2越接近于1，表示回归的效果越好4非线性回归模型首先要作出散点图，如果散点图
3、中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型，再通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程.判一判1.回归方程x中的表示当x每增加一个单位时，的变化量()2R2越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差()3散点图是判断两个变量是否有相关关系的工具之一()4在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x
4、1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为1.()5回归直线x不一定过点(，)()解析：回归直线x一定过点(，)，故错误6在线性回归模型中，e是bxa预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量()解析：e是一个不可观测的量，故不正确.想一想1.两个变量之间的关系分几类？提示：分两类：函数关系，相关关系函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系2什么叫回归分析？提示：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法3回归分析的一般步骤是什么？提示：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪
5、个变量是预报变量；(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程x)；(4)按一定规则估计回归方程中的参数；(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等4请问产生随机误差的主要原因有哪些？提示：(1)所选用的模型不恰当；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在测量误差5利用求得的回归方程进行预报，为什么得到的预报值和实际值并不相同？提示：解释变量和预报变量之间的关系是相关关系而非函数关系，由回归
6、方程得到的是预报值而非实际值6给出两个变量的回归方程，怎样判断拟合效果的好坏？提示：一般有三种方法来判断拟合效果：残差平方和法：残差平方和越小，拟合效果越好；残差图中的点分布的带形区域宽度越窄，拟合精度越高；相关指数法：相关指数R2越接近于1，模型的拟合效果越好例如R20.64，表示“解释变量对于预报变量的贡献率为64%.”7回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？提示：不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食习惯，是否喜欢运动等思考感悟：练一练1在下列各量之间，存
7、在相关关系的是()正方体的体积与棱长之间的关系；一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；家庭的支出与收入之间的关系；某户家庭用电量与电价之间的关系A BC D答案：D2关于残差图的描述错误的是()A残差图的横坐标可以是样本编号B残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小解析：残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R2的值越大，故描述错误的是选项C.答案：C3调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显
8、示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程： 0.254x0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析：由题意知0.254(x1)0.321(0.254x0.321)0.254.答案：0.2544通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为第_个解析：由题图可知第六个数据的偏差最大，故不准确的为第六个答案：六知识点一线性回归方程1.在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据(xi，yi)，i1,2，n；求线性回归方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘
9、制散点图如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是()A BC D解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i1,2，n；根据所搜集的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是，故选D.答案：D2如图所示，图中有5组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最大()AEBCCDDA解析：通过散点图可以看出，除点E外的四点基本分布在一条直线的附近，而点E偏离较远答案：A3某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先
10、拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求线性回归方程x，其中20，；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)解析：(1)8.5，(908483807568)80.20，80208.5250，线性回归方程为20x250.(2)设工厂获得的利润为L元，则Lx(20x250)4(20x250)202361.25，该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大.知识点二回归分析的基本思想4.下列现象的线性相关程
11、度最高的是()A某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B流通费用率与商业利润率之间的相关系数为0.94C商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51D商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81解析：|r|越接近1，相关程度越高故选B.答案：B5如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是()解析：选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，故选B.答案：B6为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天 1 2 34 56繁殖个数y/个612254995190(1)用天数作
12、解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程；(3)计算残差、相关指数R2，并描述解释变量与预报变量之间的关系解析：(1)所求散点图如下图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数yc1ec2x的周围，于是令zln y，则得下列数据表：x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器算得0.69x1.112，则有e0.69x1.112.(3)由题意得：6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190(yii)2n225 553.3，R210.999 9.即解释变量天数对预报变量繁殖细菌的个数解
13、释了99.99%.基础达标一、选择题1下列各组变量之间具有线性相关关系的是()A出租车费与行驶的里程B学习成绩与学生身高C身高与体重D铁的体积与质量答案：C2若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的线性回归方程为 5080x，则下列判断正确的是()A劳动生产率为1 000元时，月工资为130元B劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元C劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元D月工资为210元时，劳动生产率为2 000元答案：B3某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.10x200 B.10x200C.10x200 D.10x200解析：由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D两项又当x10时，A项中y100，而C项中y300，C项不符合题意，故选A.答案：A4变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()Ar2r10 B0r2r1Cr200，r20.82，所以RR.故的拟合效果好于的拟合效果- 12 - 版权所有高考资源网
