1、第四章 数列 单元综合测试卷第卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1数列的通项公式可能为（）ABCD【答案】B【解析】根据题意数列其中，则其通项公式可以为故选:B.2数列满足，则的值为（）ABCD【答案】C【解析】由题意可得，.故选：C.3已知是等差数列，且，则（）A1B3C5D7【答案】B【解析】设等差数列的公差为 ，由得，则故选：B.4若数列的前项和，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】D【解析】当时，当时，经检验，可得.故选：D.5某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后
2、分裂成10个并死去1个按照此规律，12小时后细胞存活个数（）A2048B2049C4096D4097【答案】D【解析】依题意，1小时后的细胞个数为，2小时后的细胞个数为，3小时后的细胞个数为，则小时后的细胞个数为，所以12小时后细胞存活个数是.故选：D6已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（）A时等式成立B时等式成立C时等式成立D时等式成立【答案】B【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立故选：B7设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（）A310B212C180D121【答案】D【解析】
3、等差数列满足，设公差为，则，其前项和为，数列也为等差数列，解得，由于为单调递减数列，故选：D8对于数列，若存在正整数，使得，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（）A2B7C2，7D2，5，7【答案】C【解析】因为，所以，当，所以，因为函数在上单调递增，所以时，数列为单调递增数列，所以，所以数列的“谷值点”为，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知等差数列、，则（）A公差B该数列的通项公式为C数列的前项和为D是该数列的第项【答案】ACD
4、【解析】对于A选项，等差数列的公差为，A对；对于B选项，该数列的通项公式为，B错；对于C选项，数列的前项和为，C对；对于D选项，由，解得，D对.故选：ACD.10在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）AB数列是等比数列CD数列是公差为2的等差数列【答案】AC【解析】在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，解得，或者，不符合题意，舍去，故A正确，则，常数，数列不是等比数列，故B不正确；，故C正确；，数列不是公差为2的等差数列，故D错误，故选：AC11己知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A若，则是等差数列B若是等差数列，且，则数列的前n项和有最大值C
5、若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为98，则公差为2D若是等差数列，则三点、共线【答案】BCD【解析】A项，时，时，时，所以，不是等差数列；B项，由已知可得，又所以，.所以，有最大值；C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为，所以；D项，设三点分别为A，B，C，则，.则，所以三点共线.故选：BCD.12古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数
6、列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（）AB1225既是三角形数，又是正方形数CD，总存在，使得成立【答案】BCD【解析】三角形数构成数列：1，3，6，10，则有，利用累加法，得，得到；n=1成立正方形数构成数列：1，4，9，16，则有，利用累加法，得，得到,n=1成立对于A，利用裂项求和法：，故A错误；对于B，令，解得；令，解得；故B正确；对于C，则，整理得，故C正确；对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，故D正确；故选：BCD第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若等差数列满足，则当n_时，的前n项和最大【答案】8【解析】由等差数列的性质可得，又，等差数列
7、的前8项为正数，从第9项开始为负数，等差数列的前8项和最大，故答案为：814若数列的通项公式，前项和为，则_【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：15已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则_.【答案】6【解析】由已知得，令n=5，则，所以，故答案为：6.16已知数列 满足:， 则数列的前项和为_【答案】【解析】因为，所以当时， 故；当时，则，两式相减得:，故，经检验:满足，所以当时，所以，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（10分）若数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且.(1)若成等比数列，求的值；(2)当时，求数
8、列的前21项和.【解析】（1）根据题意可得，又，故可得，又成等比数列，故，即，解得（舍）或，故.（2）当时，则，两式作差可得：，故该数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，则，故.故数列的前21项和.18（12分）已知数列的前项和公式为.(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和的最小值.【解析】（1）当时，；当时，满足，故对任意的，.（2），令，解得，且，所以，数列为等差数列，所以，的最小值为.19（12分）一个计算装置有一个入口和一输出运算结果的出口，将自然数列中的各数依次输入口，从口得到输出的数列，结果表明：从口输入 时，从口得；当时，从口输入,从口得到的结果是将前一结果先乘以
9、自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数.试问：(1)从口输入2和3时，从口分别得到什么数？(2)从口输入100时，从口得到什么数？并说明理由.【解析】（1）当时，；当时，；当时，；（2） ， ， ，故猜想 ；理由：显然时，猜想成立，假设时，猜想成立，即 ，则 时， 当时，猜想成立， ，故从口输入100时，从口得的数为 .20（12分）记为数列的前n项和，已知.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【解析】（1）当时，；当时，则；又，则是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）因为当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：数列的前项和为.21（12分）已知数列的首项，且满足(1)求证：数列为等比数列；(2)设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立【解析】（1）由已知得，所以因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列（2）证明：（2）由（1），当n为偶数时，当n为奇数时，故，由所以m的最小值为22（12分）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意恒成立，求正实数的取值范围.【解析】（1）由题意，对任意，有当时，可得，所以当时，-得：所以，即所以，对任意，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列所以（2）因为所以所以可以看出，随着的增大而增大，所以，且对任意，所以恒成立，有，所以，所以.
