1、13.3函数的最大(小)值与导数函数的最大(小)值下图为yf(x)，x的图象问题1：观察上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值问题2：结合图象判断，函数yf(x)在区间上是否存在最大值和最小值？若存在，分别为多少？提示：存在f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)问题3：函数yf(x)在上的最大(小)值一定是其极值吗？提示：不一定，也可能是区间端点的函数值问题4：怎样确定函数f(x)在上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值1函数yf(x)在区间上的最值一
2、般地，如果在区间上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值2函数最值的求法求函数yf(x)在闭区间上的最值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值极值与最值的区别与联系(1)区别函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得(2)联系如果在区间(a，b)上函数
3、yf(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间(a，b)可以是无穷区间求函数的最值求下列各函数的最值：(1)f(x)x33x，x；(2)f(x)x2(x0)(1)f(x)33x23(1x)(1x)令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)0极小值极大值18所以x1和x1是函数在上的两个极值点，且f(1)2，f(1)2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f()0，f(3)18，所以f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2x，令f(x)0，得x3.当x变化
4、时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,0)f(x)0f(x)极小值所以当x3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(3)27，无最大值利用导数求函数最值的方法(1)若函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点(2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值求函数f(x)ln(1x)x2在区间上的最值解：f(x)x
5、，令f(x)0，即x0，得x2或x1.又x10，x1，x2舍去f(0)0，f(1)ln 2，f(2)ln 31，该函数在区间上的最大值为ln 2，最小值为0.由函数的最值确定参数的值若f(x)x33x29x1在区间上的最大值为28，求k的取值范围由f(x)x33x29x1，得f(x)3x26x9.令f(x)0，得x13，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而f(2)31，m的取值范围为(1，)不等式恒成立问题的转化技巧(1)af(x)(或af(x)恒成立af(x)max(
6、或af(x)min)；(2)af(x)(或af(x)恒有解af(x)min(或af(x)max)；(3)f(x)g(x)恒成立F(x)min0(其中F(x)f(x)g(x)；(4)f(x)g(x)恒有解F(x)max0(其中F(x)f(x)g(x)已知函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x，都有f(x)c2成立，求c的取值范围解：(1)f(x)6x26ax3b，因为函数f(x)在x1及x2时取得极值，所以f(1)0，f(2)0，即解得(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0
7、,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2,3)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又因为f(0)8c，f(3)98c，所以当x时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c1或c9.因此c的取值范围为(，1)(9，).(12分)已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围已知函数f(x)xax(a0，且a1)(1)当a3时，求曲线f(x)在点P(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)存在
8、极大值g(a)，求g(a)的最小值解：(1)当a3时，f(x)x3x，f(x)13xln 3，f(1)13ln 3.又f(1)2，所求切线方程为y2(13ln 3)(x1)，即y(13ln 3)x33ln 3.(2)f(x)1axln a，当0a0，ln a0，f(x)在R上为增函数，f(x)无极大值当a1时，设方程f(x)0的根为t，得at，即tloga，f(x)在(，t)上为增函数，在(t，)上为减函数，f(x)的极大值为f(t)tat，即g(a).a1，0.设h(x)xln xx，x0，则h(x)ln xx1ln x，令h(x)0，得x1，h(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增
9、函数，h(x)的最小值为h(1)1，即g(a)的最小值为1，此时ae.1函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值解析：选Af(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值2函数yx44x3在区间上的最小值为()A72 B36C12 D0解析：选D因为yx44x3，所以y4x34.令y0，解得x1.当x1时，y0，函数单调递减；当x1时，y0，函数单调递增，所以函数yx44x3在x1处取得极小值0.而当x2时，y27，当x3时，y72，所以当x1时，函数yx44x3取得最小值0.3函数y在上的最大值为_解析：y，令y0，得x1，
10、f(1)，f(0)0，f(2)，f(x)maxf(1).答案：4函数f(x)x(x)的值域为_解析：f(x)1，所以在上f(x)0恒成立，即f(x)在上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)，最小值是f(1)，故函数f(x)的值域为.答案：5已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数f(x)(2)若f(1)0，求f(x)在上的最大值和最小值解：(1)由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x24)，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，f(x)在上的最大值为，最小值为.一、
11、选择题1函数yxsin x，x的最大值是()A1B.1C D1解析：选Cy1cos x0，所以yxsin x在上为增函数当x时，ymax.2已知函数f(x)x2x，则下列结论正确的是()A当x时，f(x)取最大值B当x时，f(x)取最小值C当x时，f(x)取最大值D当x时，f(x)取最小值解析：选Df(x)2xx2xln 2，令f(x)0，得x.又当x时，f(x)时，f(x)0，当x时，f(x)取最小值3函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2 B3C. D2解析：选B由f(x)0得x1，且x(0,1)时f(x)0，x(1,5时f(x)0，x1时f(x)最小，最小值为f(1)3.4函数f(
12、x)x3x2xa在区间上的最大值是3，则a的值为()A2 B1 C2D1解析：选Bf(x)3x22x1，令f(x)0，解得x(舍去)或x1.又因为f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则f(2)最大，即a23，所以a1.5若对任意的x0，恒有ln xpx1(p0)，则p的取值范围是()A(0,1 B(1，)C(0,1) D上的最小值为_解析：g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.答案：7若函数f(x)x33xa在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.
13、解析：f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)，f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：208已知函数f(x)2ln x，若当a0时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由f(x)2ln x，得f(x).又因为函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1.要使f(x)2恒成立，需ln a1
14、2恒成立，则ae.答案：e，)三、解答题9设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：f(x)的定义域为.(1)f(x)2x.当x1时，f(x)0；当1x时，f(x)0；当x时，f(x)0，从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为fln 2.又因为fflnlnln0，所以f(x)在区间上的最大值为fln.10设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解：(1)由题设知f(x)，g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)g(x)0成立g(a)1，即ln a1，得0ae，所以实数a的取值范围为(0，e)
