1、江苏省南通市西亭高级中学2020届高三数学下学期学情调研试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合，则_.【答案】【解析】分析】根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知.故答案为：【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.2.若复数（i为虚数单位），且为实数，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则，求出，由虚部为零，即可求解.【详解】,为实数，.故答案为:4.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题.3.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 【答案】9【解析】:
2、试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，ab,跳出程序，输出a=9;考点：算法的流程图的计算4.若曲线在处的切线斜率为-1，则_.【答案】【解析】【分析】求出，并由，建立的方程，即可求解.【详解】，.故答案为:-2.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为_.【答案】【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
3、，在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为.故答案为：【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.已知函数关于直线对称，则_【答案】【解析】【分析】根据对称轴方程，得到的表示，根据条件中的的范围结合的取值即可求出的值，最后可计算的值.【详解】因为正弦函数的对称轴为，所以，所以，又因为，所以，此时，所以，所以.故答案为.【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.7.已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则
4、的值为_【答案】. 【解析】分析：利用成等差数列求出，由可得结果.详解：设的首项，公比为，时，成等差数列，不合题意；时，成等差数列，解得，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.已知ABC的三边上高的长度分别为2，3，4，则ABC最大内角的余弦值等于_【答案】【解析】【分析】不妨设的三边，上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得，设，可得，可得为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解【详解】解：由题意，不妨设的三边，上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式
5、可得：，解得：，设，则，可得为三角形最大边，为三角形的最大角，由余弦定理可得：故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题9.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有 【答案】【解析】试题分析：设球的直径为2R，则考点：球的表面积10.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 .【答案】【解析】【详解】试题分析：连接OP， ， ， ， 考点：求椭圆离心率范围点评：求离心率问题关键是找到关于的齐次方程或不等式11.在斜三角形中，是中点，在边上，与交
6、与点.若，则_.【答案】【解析】【分析】作出图形，利用、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律可求得实数的值.【详解】如下图所示，过点作交于点，则点为的中点，为的中点，所以，所以，由，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面数量积求参数值，考查平面向量数量积运算律的应用，属于中等题.12.已知，且，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】将不等式两边同乘以，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值.【详解】，且，当且仅当时取等号.令，原不等式转化为，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等
7、”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13.设函数（）若存在，使，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】存在, 使，等价于，化简的解析式，判断的单调性，讨论的单调区间与区间的关系，求出在上的最小值，令最小值小于或等于零解出即可.【详解】存在, 使，当时,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增， (1) 若，即时，在上单调递增,解得； (2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，解得，综上
8、，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）.14.已知圆，直线与圆交于两点，若，则弦的长度的最大值为_.【答案】【解析】【分析】取的中点为M，由可得，可得M在上，当最小时，弦的长才最大.【详解】设为的中点，即，即，.设，则，得.所以，.故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，计
9、90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，AB，BC1，E，F分别是AB，PC的中点，DEPA.（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：平面PAC平面PDE.【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）设的中点为，连接,利用三角形中位线定理、矩形的性质、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质、面面垂直的判定定理进行证明即可.【详解】（1）设的中点为，连接,因为F是PC的中点，所以有
10、,又因为四棱锥PABCD的底面为矩形, E是AB的中点,所以有，因此有,所以四边形是平行四边形，因此有,平面PAD，平面PAD，所以EF平面PAD；（2）在矩形中，设交于点，因为E是AB的中点,所以，因为，所以，因此，而，所以，而DEPA，平面PAC，所以平面PAC，而平面PDE，因此平面PAC平面PDE.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了平行四边形的判定和性质，考查了矩形的性质，考查了相似三角形的判定和性质，考查了推理论证能力.16.已知函数，（1）求的最小正周期和单调递减区间（2）若方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m
11、的取值范围【答案】（1）；.（2）.【解析】分析：（1）首先利用余弦倍角公式对进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将函数解析式化简为，借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；（2）研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果.详解：（1） 由，解得：的单调递减区间为： （2）即在区间上的图象与直线有两个不同的交点由（1）知：在上单调减，在上单调增， 当时，在区间上的图象与直线有两个不同的交点，即方程在区间上两个不同的实数解的取值范围为 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，辅助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二
12、问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函数图像的走向，从而求得结果.17.在平面直角坐标系中，已知椭圆C:(0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求直线AB的方程.【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】（1）代入椭圆方程，结合关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出两点的坐标关系，进而求出点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线方程.【详解】(1)由题意可知，=1，且又因为，解得，所以椭圆C的标准方程为；(2)若直线AB的斜率不存在，则易得，得P
13、(，0)，显然点P不在椭圆上，舍去；因此设直线的方程为，设，将直线的方程与椭圆C的方程联立，整理得，则由得將P点坐示代入椭圆C的方程，得(*)；将代入等式(*)得因此所求直线AB的方程为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.18.如图是一幅招贴画示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为，.（1）求关于的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，
14、招贴画最优美.证明：当角满足：时，招贴画最优美.【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类时，点P在线段OG上，当时，点P在线段GH上，当 时，.求出半径后可得弦长；（2）由（1）的分类讨论求得.，令，用导数的知识求它的最大值即可得【详解】解：（1）当时，点P在线段OG上，；当时，点P线段GH上，；当 时，. 综上所述，. 所以，弧AD的长，故所求函数关系式为，. （2）当时，；当时，；当 时，.所以，.从而，. 记，. 则. 令，得. 因为，所以，从而， 显然，所以.记满足的，下面证明是函数的极值点.设，.则=在上恒成立， 从而在上单调递减，所以，当时，即，在上单调递增；当
15、时，即，在上单调递减.故 在处取得极大值，也是最大值.所以，当满足时，函数即取得最大值，此时招贴画最优美.【点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和19.设函数，其中，.（1）若，求的极值；（2）若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）【解析】【分析】（1）把代入后求导，判断的单调性，进而可以求得极值；（2）将公共点转化为零点问题，构造函数，求导判断的单调性，结合零点定理即可求出的取值范围.【详解】（1）当时，令，解得，或；当变化时，的变化情况如下表；+00+单调增极大值单调减极
16、小值单调增的极大值为，极小值为；（2）由题意，曲线与直线有三个互异的公共点，可转化为令，可得；设函数，即函数有三个不同的零点；，当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意当时，令，解得，；，解得，或，解得，在和上单调递增，在上单调递减，的极大值为；极小值为若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；若，即，解得此时，从而由零点定理知，在区间，内各有一个零点，符合题意；的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，构造函数和零点定理的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.20.已知数列的首项a12，前n项和为，且数列是以为公差的等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设
17、，数列的前n项和为，求证：数列为等比数列，若存在整数m，n(mn1)，使得，其中为常数，且2，求所有可能值【答案】（1）；（2）见证明；当n=2，m=4时，=-2，当n=2，m=3时，=-1.【解析】【分析】（1）先求解等差数列的通项公式，再根据求解的通项公式；（2）采用错位相减法先求，再根据，证明为等比数列；将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即取什么值时能满足要求.【详解】（1）因为，所以所以即当时，当n=1时，符合上述通项，所以(2）因为，所以所以则两式相减，可整理得，且所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列.由可知，且由（1）
18、知，代入可得整理得即：，设，则则因为，所以当时，即因为，且所以所以或，即n=2，m=4或3当n=2，m=4时，=-2，当n=2，m=3时，=-1.【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.21.已知矩阵，向量.求向量，使得.【答案】【解析】【分析】由矩阵乘法求出，设，由已知等式得出的方程组，可解得，得向量【详解】解：因为，所以设，则=所以解得，所以.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌
19、握矩阵乘法法则是解题基础22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的点为极点，Ox所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线交于两点，求线段的长度.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由公式可得曲线的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长【详解】（1）因为，所以 即.因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）因为直线l的参数方程为（t为参数），所以，所以l的直角坐标方程为所以圆心到直线l的距
20、离，所以，所以线段的长度为【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化考查圆的弦长问题求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长23.如图，在三棱锥P-ABC中，ACBC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD平面ABC，PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.【答案】(1)；(2).【解析】分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC的法向量，其与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直
21、角坐标系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，)，P(1，1，3)，设直线CE与直线PA夹角为，则整理得；直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)设直线PC与平面DEC夹角为，设平面DEC的法向量为，因为，所以有取，解得，即面DEC的一个法向量为，.直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.24.设且，集合的所有个元素的子集记为（1）当时，求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值【答案】（1）30；（2）2019.【解析】【分析】（1）当n=4时，因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，从而得到结果；（2）分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到，进而得到结果.【详解】（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为； （2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个； 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个 ，【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力两题中得出含有相关数字出现的次数是关键
