1、2016-2017学年广东省珠海一中、惠州一中联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1如果复数，则（）A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为1Dz的共轭复数为1i2“四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形3男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A2人或3人B3人或4人C3人D4人
2、4欲证，只需证（）ABCD5函数f（x）=x24ln（x+1）的单调递减区间是（）A（，2）B（1，1）C（2，1）D（1，+）6某个命题与正整数有关，若当n=k（kN*）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=9时该命题不成立，那么可推得（）A当n=10时，该命题不成立B当n=10时，该命题成立C当n=8时，该命题成立D当n=8时，该命题不成立7函数f（x）=的图象可能是（）ABCD8如果复数z满足|z+1i|=2，那么|z2+i|的最大值是（）ABCD92位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A6
3、0B48C42D3610如图阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为（）ABCD11已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f（x），若方程f（x）=0无解，且ff（x）2017x=2018，若函数g（x）=ax+4lnx在定义域上与f（x）单调性相同，则实数a的取值范围是（）A（4，+）B4，+）C（5，+）D5，+）12已知函数f（x）=x存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A有3条B有2条C有1条D不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若复数z=2m23m2+（6
4、m2+5m+1）i是纯虚数，则实数m的值为 14函数f（x）=x3+2ax2+bx+a2（a，bR）在x=2处有极值为17，则b的值为 15已知ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r（用SABC表示ABC的面积），则SABC=r（a+b+c）；类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VABCD= 16已知曲线y=（1x）xn（nN*）在处的切线为l，直线l在y轴上上的截距为bn，则数列bn的通项公式为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17求值：（1）（2）18设a0，b0，且a+b=+证明：（1）设，求证M=N（2）a2
5、+a2与b2+b2不可能同时成立19用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？20设f（x）=x3+x2+2ax（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若f（x）在1，+）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（3）当0a2时，f（x）在1，4上的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值21设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；（2）将数列an依次按1
6、项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），（a22，a23），（a24，a25，a26），（a27，a28，a29，a30）；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b2018b1314的值22已知函数f（x）=ln（2+3x）（1）求f（x）在0，1上的极值；（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围（3）若对任意，不等式|alnx|+ln
7、f（x）+3x0成立，求实数a的取值范围2016-2017学年广东省珠海一中、惠州一中联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1如果复数，则（）A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为1Dz的共轭复数为1i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出z，然后求出z的模，z的实部，z的虚部，z的共轭复数得答案【解答】解： =，z=1+i则，z的实部为：1，z的虚部为：1，z的共轭复数为：1i故选：D2“四边形ABCD为矩形，四边形ABCD
8、的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形【考点】F6：演绎推理的基本方法【分析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，得到大前提【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，大前提一定是矩形的对角线相等，故选B3男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A2
9、人或3人B3人或4人C3人D4人【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别，共有30种不同的选法，得到关于x的等式Cx2C8x1=30，解出x即可【解答】解：设男学生有x人，则女学生有8x人，从男生中选2人，从女生中选1人，共有30种不同的选法，是组合问题，Cx2C8x1=30，x（x1）（8x）=302=265，或x（x1）（8x）=345x=6，86=2或x=5，85=3女生有：2或3人故选：A4欲证，只需证（）ABCD【考点】F9：分析法和综合法【分析】根据分析法的步骤进行判断即可【解答】解：欲证，
10、只需证+，只需证（）2（+）2，故选：A5函数f（x）=x24ln（x+1）的单调递减区间是（）A（，2）B（1，1）C（2，1）D（1，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的定义域和导数，利用f（x）0，即可得到结论【解答】解：函数的定义域为（1，+），则函数的导数为f（x）=2x=，由f（x）0得0，解得1x1，即函数的单调递减区间（1，1），故选：B6某个命题与正整数有关，若当n=k（kN*）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=9时该命题不成立，那么可推得（）A当n=10时，该命题不成立B当n=10时，该命题成立C当n=8时，该命题成立D
11、当n=8时，该命题不成立【考点】RG：数学归纳法【分析】利用逆否命题的真假判断原命题的真假，利用数学归纳法判断即可【解答】解：因为原命题与逆否命题的真假性相同，所以若当n=k（kN*）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=9时该命题不成立，那么可推得：当n=8时，该命题不成立故选：D7函数f（x）=的图象可能是（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可【解答】解：函数f（x）=，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A，B当x0时，ln（x2）20，（x2）30，函数的图象在x轴下方，排除D，故选：C8如果复数
12、z满足|z+1i|=2，那么|z2+i|的最大值是（）ABCD【考点】A8：复数求模【分析】复数z满足|z+1i|=2，表示以C（1，1）为圆心，2为半径的圆|z2+i|表示圆上的点与点M（2，1）的距离求出|CM|即可得出【解答】解：复数z满足|z+1i|=2，表示以C（1，1）为圆心，2为半径的圆|z2+i|表示圆上的点与点M（2，1）的距离|CM|=|z2+i|的最大值是+2故选：A92位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A60B48C42D36【考点】D9：排列、组合及简单计数问题【分析】从3名女生中任取2人“捆”
13、在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有62=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有124=48种不同排法故选B10如图阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为（）
14、ABCD【考点】69：定积分的简单应用；67：定积分【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线y=x与y=2x2围成的面积S1，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB的面积S2，阴影部分的面积S=S2S1=【解答】解：曲线y=2x2和圆x2+y2=3的在第一象限的交点为A（，），则直线OA的方程方程为：y=x，直线OA与抛物线y=2x2所围成的面积S1=（x2x2）dx=（x2x3）=，则扇形AOB圆心角为=，则扇形AOB的面积S2=r2=3=，阴影部分的面积S=S2S1=，故选A11已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f（x），若方程f（x）=0无解，且ff（x）2017x=2018，若函数g（x
15、）=ax+4lnx在定义域上与f（x）单调性相同，则实数a的取值范围是（）A（4，+）B4，+）C（5，+）D5，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）2017x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，得到g（x）在（0，+）递增，结合二次函数的性质求出a的范围即可【解答】解：若方程f（x）=0无解，则 f（x）0或f（x）0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，xR都有ff（x）2017x=2018，则f（x）2017x为定值，设t=f（x）2017x，则f（x）=t+2017x，易知f（x）为R上的增函数，则若函数g（
16、x）在定义域上与f（x）单调性相同，则g（x）=ax+4lnx在（0，+）递增，即g（x）=a+x+=0在（0，+）恒成立，即ax在（0，+）恒成立，而y=x4，故a4，故选：B12已知函数f（x）=x存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A有3条B有2条C有1条D不存在【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0在（，+）有解，讨论a0，a0可得a0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1=（1）x01，消去a得x01=0，设h（x）=exx
17、ex1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+）有唯一解，由a0，即可判断不存在【解答】解：函数f（x）=x的导数为f（x）=1e，依题意可知，f（x）0在（，+）有解，a0时，f（x）0 在（，+）无解，不符合题意；a0时，f（x）0即ae，lna，xalna符合题意，则a0易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1）x1假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1=（1）x01，消去a得，设h（x）=exxex1，则h（x）=exx，令h（x）0，则x0，所以h（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，当x，h（x）1，x+，h（x）+，所以h（
18、x）在（0，+）有唯一解，则，而a0时，与矛盾，所以不存在故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若复数z=2m23m2+（6m2+5m+1）i是纯虚数，则实数m的值为2【考点】A2：复数的基本概念【分析】由复数z=2m23m2+（6m2+5m+1）i是纯虚数，得实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案【解答】解：复数z=2m23m2+（6m2+5m+1）i是纯虚数，解得m=2故答案为：214函数f（x）=x3+2ax2+bx+a2（a，bR）在x=2处有极值为17，则b的值为100【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=2处有极值
19、为17，列出方程组，解方程得出b的值即可：【解答】解：对函数f（x）求导得 f（x）=3x2+4ax+b，又在x=2处有极值为17，解得或，验证知，当a=3，b=12时，在x=2无极值，故b的值100故答案为：100；15已知ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r（用SABC表示ABC的面积），则SABC=r（a+b+c）；类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VABCD=R（SABC+SABD+SACD+SBCD）【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；F1：归纳推理【分析】类比推理的运用，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比
20、为四面体的内切球【解答】解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积即三棱锥体积VABCD=故应填16已知曲线y=（1x）xn（nN*）在处的切线为l，直线l在y轴上上的截距为bn，则数列bn的通项公式为bn=（2n）（）n+1【考点】8I：数列与函数的综合；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出切线的斜率：y=（1x）xn（nN*）在处的导数值，再由点斜式写出切线方程，令x=0求出bn【解答】解：曲线y=（1x）xn（nN*），y=xn+n（1x）xn1=xn1（nnxx）y|=（）n1（nn）=
21、（n1）（）n，当x=时，y=（）n+1，切线为l为y（）n+1=（n1）（）n（x），当x=0时，直线l在y轴上上的截距为bn=（2n）（）n+1，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17求值：（1）（2）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；4H：对数的运算性质【分析】（1）利用复数的运算法则、周期性化简即可得出（2）y=3tanx+sinx2x3是奇函数，可得=dx，即可得出【解答】解：（1）i4=1，i100=（i4）25=1，=i，（i）5=i，（1）2017=1=1， =1=1+1=0（2）y=3tanx+sinx2x3是奇函数
22、，=dx=+218设a0，b0，且a+b=+证明：（1）设，求证M=N（2）a2+a2与b2+b2不可能同时成立【考点】R6：不等式的证明【分析】（1）利用已知条件求出ab=1，然后利用1的代换，化简N推出等于M即可（2）利用反证法，假设a2+a2与b2+b2同时成立，推出ab1，这与ab=1矛盾，说明不等式成立【解答】证明：（1）由a+b=+=，a0，b0，得ab=1=M 所以得证M=N（2）假设a2+a2与b2+b2同时成立，则由a2+a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab=1矛盾故a2+a2与b2+b2不可能同时成立19用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：（1）能组成
23、多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：、个位从1，3，5选择一个，、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2种情况讨论：、个位数上的数字是0，个位数上的数字是5，分别求出每一种情况的五位数个数，由加法原理计算可得答案；（3）分析可得：符合要求的比31560大的五位数可分为四类分4种情况讨论，分别求出每一种情况的五位
24、数个数，由加法原理计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：、个位从1，3，5选择一个，有种选法，、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有种选法，、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有A52种选法，则个无重复数字的四位奇数；（2）分2种情况讨论：、个位数上的数字是0，在其余的4个数字中任选4个，安排在前4个数位，有种情况，则此时的五位数有个；、个位数上的数字是5，首位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有种选法，在剩下的5个数字中选出3个，安排在中间3个数位，有种情况，则此时符合条件的五位数有个故满足条件的五位数的个数共有个；（3）符合要求的比31560大的五
25、位数可分为四类：第一类：形如4，5，6，共个；第二类：形如32，34，35，36共有个；第三类：形如316，共有个；第四类：形如3156，共有2个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比31560大的四位数共有：个20设f（x）=x3+x2+2ax（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若f（x）在1，+）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（3）当0a2时，f（x）在1，4上的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据导函数大于0，得到关于a的不等
26、式，求出a的范围即可；（3）根据函数的单调性得到f（x）在1，4上的最大值为f（x2），最小值是f（4），求出a，x2的值，从而求出函数的最大值即可【解答】解 （1）由f（x）=x2+x+2a，=1+8a，a时，0，此时f（x）0，f（x）在R递减；a时，0，令f（x）=0，解得：x=，令f（x）0，解得：x或x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（，），（，+）递减，在（，）递增；（2）当x1，+）时，f（x）的最大值为f（1）=2a；由题知f（1）0时，存在单调减区间，所以a（0，+）；（3）由（1）知f（x）在（，x1），（x2，+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，当0a2时，
27、有x11x24，所以f（x）在1，4上的最大值为f（x2），又f（4）f（1）=+6a0，即f（4）f（1），所以f（x）在1，4上的最小值为f（4）=8a=，得a=1，x2=2，从而f（x）在1，4上的最大值为f（2）=21设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；（2）将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20
28、）；（a21），（a22，a23），（a24，a25，a26），（a27，a28，a29，a30）；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b2018b1314的值【考点】RG：数学归纳法【分析】（1）得到数列递推式，代入计算可得结论，猜想an的表达式，再用数学归纳法证明，（2）因为an=2n（nN*），所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号，故b1
29、00是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；【解答】解（1）点（n，）在函数f（x）=x+的图象上，=n+，Sn=n2+an令n=1得，a1=1+a1，a1=2；令n=2得，a1+a2=4+a2，a2=4；令n=3得，a1+a2+a3=9+a3，a3=6由此猜想：an=2n，用数学归纳法证明如下：当n=1时，由上面的求解知，猜想成立假设n=k（k1）时猜想成立，即ak=2k成立，则当n=
30、k+1时，注意到Sn=n2+an（nN*），故Sk+1=（k+1）2+ak+1，Sk=k2+ak两式相减得，ak+1=2k+1+ak+1ak，所以ak+1=4k+2ak由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+2ak=4k+22k=2（k+1）这说明n=k+1时，猜想也成立由知，对一切nN*，an=2n成立，（2）因为an=2n（nN*），所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号，故b2
31、018是第505组中第2个括号内各数之和，b1314是第329组中第2个括号内各数之和由分组规律知，各组第1个括号中所有数组成的数列是等差数列，且公差为20同理，由各组第2个括号中所有第1个数、所有第2个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20故各组第2个括号中各数之和构成等差数列，且公差为40记b2，b6，b10，b4n+2，为dn，则dn为等差数列且公差为40，因为b2018=d505，b1314=d329，所以b2018b1314=40=704022已知函数f（x）=ln（2+3x）（1）求f（x）在0，1上的极值；（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在0，1上恰有两个不同的实根
32、，求实数b的取值范围（3）若对任意，不等式|alnx|+lnf（x）+3x0成立，求实数a的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）得到f（x）=2x+b，得到ln（2+3x）x2+2xb=0，根据函数的单调性求出函数的单调区间，求出b的范围即可；（3）问题转化为，设，根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1），令（舍去），单调递增；当单调递减上的极大值（2）由，令，当上递增；当上递减而，f（x）=2x+b即（x）=0在0，1恰有两个不同实根，等价于，（3）由|alnx|+lnf（x）+3x0得当当，设，依题意知上恒成立，上单增，要使不等式成立，综上所述2017年6月24日
