1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理综合测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在22的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使ABC为直角三角形的概率是（）
2、ABCD2、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A4B5C6D73、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A11cmB2cmC（8+2）cmD（7+3）cm4、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上若再选择一个格点C，使ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（）A2B4C5D65、如图，由6个相同小正方形组成的网格中
3、，A，B，C均在格点上，则ABC 的度数为（）A45B50C55D606、ABC的三边长a，b，c满足+（b12）2+|c13|0，则ABC的面积是（）A65B60C30D267、如图，正方形ABCD中，AB12，将ADE沿AE对折至AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）A2B3C4D58、如图，ABC中，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）A以BC为边的正方形面积B以AC为边的正方形面积C以AB为边的正方形面积DABC的面积9、如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东
4、南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（）A40mB45mC30mD35m10、如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、图，在菱形ABCD中，是锐角，于点E，M是AB的中点，连接MD，若，则的值为_2、我国古代数学著作九章算术中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列
5、出关于 x 方程为:_. 3、如图，在中，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则_4、如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部_m位置断裂5、如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了_米三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：在中，点在直线上，点在同一条直线上，且，【问题初探】（1）如图1，若平分，求证：请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程【变式再探】（2）如图2，若平分的外角，交的延长线
6、于点，问：和的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由【拓展运用】（3）如图3，在的条件下若，求的长度2、如图所示，已知ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts(1)出发3s后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间3、如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求的度数4
7、、如图，已知半径为5的M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分OAM，AOCO6(1)判断M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式5、如图，AD是ABC的中线，DEAC于点E，DF是ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8(1)求证：；(2)求DF的长-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可【详解】解：如图，均可与点和组成直角三角形，故选：C【考点】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出
8、现种结果，那么事件的概率（A）2、A【解析】【详解】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A【考点】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积3、B【解析】【详解】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解：将长方体展开,连接AB，则AB最短.AA=3+2+3+2=10cm，AB=6 cm，AB=cm.故选B.4、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90时，
9、分别画出符合条件的图形，即可解答【详解】解：分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90如图 符合条件的格点C的个数是6个故选：D【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键5、A【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理分别求出AB、AC、BC，根据勾股定理的逆定理得到ABC是等腰直角三角形，ACB=90，再根据三角形内角和定理得到答案【详解】连接AC，AC=BC，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，ABC= (180-ACB)=45故选A【考点】本题考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解决问题的关键是作辅助
10、线构建三角形，熟练掌握等腰三角形的定义和性质，熟练运用勾股定理的逆定理判断直角三角形6、C【解析】【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可【详解】解：+(b-12)2+|c-13|=0，a-5=0，b-12=0，c-13=0，a=5，b=12，c=13，52+122=132，ABC是直角三角形，SABC=30故选：C【考点】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非
11、负数性质求出a、b、c的值是解题的关键7、C【解析】【分析】连接AG，证明ABGAFG，得到FGBG，ADE沿AE对折至AEF，则EFDE，设DEx，则EFx，EC12x，则RtEGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值【详解】如图，连接AG，四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDAD12ADE沿AE对折至AEF，EFDE，AFAD，AFAD，ABAD，AFAB，又AG是公共边，ABGAFG（HL），G刚好是BC边的中点，BGFG， 设DEx，则EFx，EC12x，在RtEGC中，根据勾股定理列方程：62（12x）2(x6)2解得：x4所以ED的长是4，答案选C【考点】本题考查了正方
12、形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键8、D【解析】【分析】如图所示，过点C作CNAB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明ADECAN得到，AE=CN同理可证BGHCBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案【详解】解：如图所示，过点C作CNAB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，CNA=DEA=DAC=90，DAE+EDA=DAE+CAN=90，ADE=CAN，又AD=CA，ADECAN（AAS），AE=CN同理可证BGHCBN，BH=CN， ，只需要知道ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【考点】本题主要考查了全等三角形的
13、性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形9、C【解析】【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可【详解】解：OA是东北方向，OB是东南方向，AOB=90，又OA=24m，OB=18m，30m故选：C【考点】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键10、C【解析】【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BFAE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而
14、可得BFC=90，至此，在RtBFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可【详解】如图，连接BFAEF是由ABE沿AE折叠得到的，BFAE，BE=EFBC=6，点E为BC的中点，BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE=AB+BE代入数据求得AE=5根据三角形的面积公式得BH=即可得BF= 由FE=BE=EC，可得BFC=90再由勾股定理有BC-BF=CF代入数据求得CF= 故答案为：【考点】此题考查矩形的性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分二、填空题1、【解析】【分析】延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题【详解】延长DM
15、交CB的延长线于点H，四边形ABCD是菱形，设，或舍弃，故答案为【考点】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键2、【解析】【分析】设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：故答案为：【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键3、【解析】【详解】解：设CD=x，则AD=AD=4-x在直角三角形ABC中，BC=5则AC=BC-AB=BC-AB=5-3=2在直角三角形ADC中：AD2+AC2=CD2即：（4-x）
16、2+22=x2解得：x=故答案为：2.54、6【解析】【分析】设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解【详解】解：如图，由题意知，设，则,在中，即，解得，因此旗杆在离底部6m位置断裂故答案为：6【考点】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键5、9【解析】【分析】在RtABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长【详解】在RtABC中：CAB90，BC17米，AC8米，AB15（米），CD10（米），AD6（米），BDABAD1569（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9【考点
17、】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用三、解答题1、（1）见解析（2）；理由见解析（3）【解析】【分析】（1）根据ASA证明得BE=BC，得，进一步可得结论；（2）根据ASA证明得BE=BC，得；（3）连结，分别求出AEB=ADE=ACB=225,再证明AE=CD，ADC=90，由勾股定理可得AC，由EC=EA+AC可得结论【详解】解：（1）证明平分，在和中， ；理由：平分，在和中，连结，且，由得，【考点】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD是解答此题的关键2、 (1)PQcm(2)出发秒后PQ
18、B能形成等腰三角形(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ为等腰三角形【解析】【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值(1)当t3时，则AP3，BQ2t6，AB16cm，BPABAP16313（cm），在RtBPQ中，PQ（cm）(2)由题意可知APt，BQ2t，AB16，BPABAP16t，当PQB为等腰三角形时，则有BP
19、BQ，即16t2t，解得t，出发秒后PQB能形成等腰三角形；(3)当CQBQ时，如图1所示，则CCBQ，ABC90，CBQ+ABQ90A+C90，AABQ，BQAQ，CQAQ10，BC+CQ22，t22211秒当CQBC时，如图2所示，则BC+CQ24，t24212秒当BCBQ时，如图3所示，过B点作BEAC于点E，则BE，CE，CQ2CE14.4，BC+CQ26.4，t26.4213.2秒综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ为等腰三角形【考点】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思
20、路，注意方程思想的应用3、【解析】【分析】连接EE,如图,根据旋转的性质得BE=B E=2,AE=C E=1,EBE=90,则可判断BEE为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得EE= BE=2,BEE=45,在CE E中,由于CE +E E=CE,根据勾股定理的逆定理得到CEE为直角三角形,即EEC=90,然后利用B EC=B EE+C EE求解【详解】连接EE,如图,ABE绕点B顺时针旋转90得到CBEBE=BE=2,AE=CE=1,EB E=90BE E为等腰直角三角形E E=BE=2,BEE=45在CEE中,CE=3,C E=1,EE=2,1+ (2)=3CE+E E= CECE
21、E为直角三角形E EC=90B EC=B EE+C EE=135【考点】此题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，正方形的性质和旋转的性质，利用勾股定理证明三角形是直角三角形是解题关键4、 (1)M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)【解析】【分析】（1）连接CM，证CMx即可得出结论；（2）过点M作MNAB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DPCM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA
22、=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在RtBOC中，BOC=90，由勾股定理，求得BC=，在RtBCD中，BCD=90，由勾股定理，即可求得CD，在RtCPD和在RtMPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可(1)解：M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，MC=MA，MCA=MAC，AC平分OAM，MAC=OAC，MCA=OAC，OAC+ACO=90，MCO=MCA+ACO=OAC+ACO=90，MC是M的半径，点C在x轴上，M与x轴相切；(2)解：如图，过点M作MNAB于N，由（1）知，MCO=90，MNAB于N，MNO=
23、90，AB=2AN，CON=90，CMN=90，四边形OCMN是矩形，MN=OC，ON=CM=5，OA+OC=6，设AN=x，OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在RtMNA中，MNA=90，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），AN=3，AB=2AN=6；(3)解：如图，连接BC，CM，过点D作DPCM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，OB=8，C（4，0）在RtBOC中，BOC=90，由勾股定理，得BC=，BD是M的直径，BCD=90，BD=10，在RtBCD中，BCD=90，由勾股定理，得CD=，即CD2=20
24、，在RtCPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，在RtMPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，20-CP2=10CP-CP2，CP=2，PD2=20-CP2=20-4=16，PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，D（8,-2），设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得，解得：，直线CD的解析式为：【考点】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解
25、题的关键5、 (1)见解析(2)DF的长为5【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明ADC是直角三角形，即可得出ADC是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可(1)证明：DEAC于点E，AED=CED=90，在RtADE中，AED=90，AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，AD2+CD2=80+20=100，AC=AE+CE=8+2=10，AC2=100，AD2+CD2=AC2，ADC是直角三角形，ADC=90；(2)解：AD是ABC的中线，ADC=90，AD垂直平分BC，AB=AC=10，在RtADB中，ADB=90，点F是边AB的中点，DF=AB=5DF的长为5【考点】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键
