1、天津开发区第一中学2020-2021学年度第一学期高三年级数学测试（12月）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. D分析：求出集合，再与集合取交集即可.解答：由题意，所以.故选：D.点拨：本题考查集合的交集，考查不等式的解法，属于基础题.2. “”是“直线平行于直线”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件A分析：根据两条直线平行的条件以及充分而不必要条件的概念可得结果.解答：当时，直线与直线平行，当直线平行于直线时，解得，所以“”是“直线平行于直线”的充分而不必要条件.故选：A
2、点拨：结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含3. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. A分析：由函数值的正负排除B，由函数的奇偶性排除C，由函数在时的变化趋势排除D从而得正确选项解答：由题意，排除B；又，不是偶函数也不是奇函数，排除C；当时，排除D故选：A点拨：本题考查函数函数解析式选取函数图象，解题方法是排除法，通过研究的性质，函数值
3、的正负，变化趋势等排除错误选项，后可得正确选项4. 与垂直，且与圆相切的一条直线是（ ）A. B. C. D. B分析：设与直线垂直的直线方程为，求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的方程解答：设与直线垂直的直线方程为，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为半径2，即或，所以，或，由选项可知B正确，故选B.点拨：本题是基础题,考查直线的垂直,直线与圆的位置关系,考查计算能力,注意直线的设法,简化解题过程.5. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 的表达式可以是（ ）A. B. C. D. A试题分析：将函数的图象向左平移个单位得考点：三角函数图像平移6. 若，则
4、a，b，c三者的大小关系是（ ）A. B. C. D. C分析：找中间量、和比较可得结果.解答：，所以故选：C7. 如图，在长方体中，E、F分别是、的中点，则直线与平面所成的角的正弦值大小是（ ） A. B. C. D. B分析：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得结果.解答：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，得，取，则，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.故选：B点拨：关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.8. 已知函数，且在区间上递减，则（ ）A. 3B. 2C. 6D. 5B分析：解答：试题分析：在上单
5、调递减，且，.考点：两角和的正弦公式、三角函数的单调性.9. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. A分析：化为有个实根，设，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果.解答：因为函数有3个零点，所以有个实根，设，当时，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以在时取得极大值，当时，为减函数，作出函数的图象如图：由图可知，.故选：A点拨：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数
6、形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知是虚数单位，则复数的实部是_.3分析：根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.解答：复数复数的实部为3.故答案为：3.点拨：本题考查复数的基本概念，是基础题11. 已知圆C经过点，和直线相切，且圆心在直线，求圆C的方程.试题分析：设出圆心坐标，利用圆C经过点，和直线相切，建立方程组，可求圆C的方程.试题解析：由题意求得圆心和半径即可，设圆心的坐标为，则得，圆C的方程为考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式12. 过点作斜率
7、为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_试题分析：设A ，B ，则，M是线段AB的中点，直线AB的方程是，过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即考点：椭圆的简单性质13. 已知圆圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为_设圆心坐标C(a，b)圆心与P关于直线y=x+1对称直线CP与y=x+1垂直y=x+1的斜率为1直线CP的斜率为-1化简得：a+b+1=0 CP的中点在直线y=x+1上化简得：a-b-1=0 联立得到：a=0，b=-1圆心的坐标为：(0，-1)圆心C到直线AB的距离d=,根据
8、勾股定理得到半径=18圆的方程为.14. 设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为_.2分析：由题意得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件得出，可得出，由二次函数性质可求最值.解答：正实数、满足，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，取得最大值，此时，当时取得最大值为2故答案为：.点拨：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证
9、等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.15. 在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则PAB面积的最大值是_分析：根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.解答：设圆心到直线距离为，则所以令（负值舍去）当时，；当时，因此当时，取最大值，即取最大值为，故答案为：点拨：本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为(1) 求和的值；(2) 求的值（1），（2）
10、分析：（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.解答：（1）ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,点拨：本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.17. 在如图所示几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，平面平面，且（1）求证：平面;（2）求二面角的正弦值;（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长（1）详见解析；（2）；（3）分析：（1）由面面垂直的性质可得直线平面，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面的一个法向量，直线的方向向量，由即可得证；（
11、2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用，再利用同角三角函数的平方关系即可得解；（3）设，由题意即，解出后即可得解.解答：（1）证明：平面平面，平面平面，平面，直线平面，由题意，以点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，则，依题意易得是平面的一个法向量，又，又直线平面，平面；（2），设为平面的一个法向量，则，即，令可得，设为平面的一个法向量，则，即，令 可得，二面角的正弦值为；（3）设，则，又，即，解得或（舍去）故所求线段的长为点拨：本题考查了利用空间向量证明线面平行、求解二面角、表示异面直线所成的角，属于中档题.18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，椭圆
12、经过点. （1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆右顶点，交椭圆于另一点，点在直线上，且.若，求直线的斜率（1）；（2）.分析：（1）利用椭圆的定义可求得的值，利用可求得的值，进而可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，由题中条件求出点的坐标，由得出，据此计算出实数的值，进而可求得直线的斜率.解答：（1）易知点，由椭圆的定义得，因此，椭圆的方程为；（2）由题意可知，直线的斜率存在，且斜率不为零，设直线的方程为，设点，联立，消去得，则，所以，点的坐标为，则，可得，所以，点的坐标为，则，所以，解得，因此，直线的斜率为.点拨：本题考查椭圆方程的求解，同时也考
13、查了利用直线垂直求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.19. 已知数列满足：，且.（）求值及数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.（）,（）分析：（）分别令可求得的值，分为奇数和偶数讨论，可得奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，根据等差、等比数列的通项公式可得结果；（）求出后，根据错位相减法可求得结果.解答：（）在中，令，得，所以，令，得，所以，令，得，所以，令，得，所以，当为奇数时，即，令，则，当为偶数时，即，令，则，所以.（）,所以，所以，所以，所以，所以.点拨：关键点点睛：分为奇数和偶数讨论，得到奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，再根据等差、等比数列的通项公式求解是解题关键.20
14、. 已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）若当时，恒成立，求实数a的取值范围；（）的极小值为，当时，求证：.（为自然对数的底）（）（）（）证明见解析分析：（）利用导数的几何意义可求得结果；（）求导后，分和讨论可求得结果；（）利用导数求出，再利用导数可证成立.解答：（），所以曲线在点处的切线方程为.（）由（）知，当，即时，因为，所以，所以，即，所以在上为增函数，所以，当，即时，因为，令，得，得，所以在上递减，所以当时，不合题意，综上所述：实数a的取值范围是.（）令，得，得，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以的极小值为，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以，当时，要证，转化为证，转化为证，转化为证，转化为证，令，则，当时，为减函数，当时，为增函数，所以，即，所以，所以点拨：关键点点睛：将所证不等式等价转化后，构造函数，利用导数证明 不等式成立是解题关键.
