1、六十二离散型随机变量的分布列及数字特征(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()A4B5 C6D5C解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.2(2020南宁二中高三月考)已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止某考生一次发球成功的概率为p(0p1.75，则p的取值范围为()A. B.C. D.A解析：由题可知P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p
2、)3(1p)2，则E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)21.75，解得p或p.由p(0,1)可得p.故选A.3从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X.已知E(X)3，则D(X)()A. B. C. D.B解析：由题意可得，XB.又E(X)3，所以m2，则XB，故D(X)5.4(2020浙江重点高中联考)已知0a1，随机变量X的分布列如下：X 101P(1 a)22a(1 a)a2若E(X)D(X)，则实数a的值为()A. B. C. D.D解析：(方法一)由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式可
3、知，E(X)(1a)2a22a1，D(X)(12a1)2(1a)2(2a1)22a(1a)(12a1)2a22a(1a)因为E(X)D(X)，所以2a12a(1a)，得a.故选D.(方法二)令YX1，则XY1，随机变量Y的分布列为Y012P(1a)22a(1a)a2由二项分布的有关知识可知，YB(2，a)，所以E(Y)2a，D(Y)2a(1a)，所以E(X)E(Y1)E(Y)12a1，D(X)D(Y1)D(Y)2a(1a)又E(X)D(X)，所以2a12a(1a)，得a.故选D.5某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元根据预测
4、知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A2 000元B2 200元C2 400元D2 600元B解析：出海的期望效益E(X)5 0000.6(10.6)(2 000)3 0008002 200(元)6签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A5B5.25 C5.8D4.6B解析：由题意可知，X可以为3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)34565.25.7(2020福建高三模拟)勤洗手、常通风、戴口罩是切断某些传染病传播的有效手段经调查，某疫情期间，某小区
5、居民人人养成了出门戴口罩的好习惯选择佩戴一次性医用口罩的概率为p，每人是否选择佩戴一次性医用口罩是相互独立的现随机抽取5位该小区居民，其中选择佩戴一次性医用口罩的人数为X，且P(X2)P(X3)，D(X)1.2，则p的值为_解析：D(X)1.2，所以5p(1p)1.2，p或p.因为P(X2)P(X3)，所以Cp2(1p)3，所以p.82020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率为_解析：由题意可知每名学生的英语成绩
6、N(95,82)，所以P(95)，故所求概率pC4.9(2020大港一中高三二模)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为_；设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为_解析：设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P(A).由题意知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3，且P(Xk)(k0,1,2,3)，所以随机变量X的分布列为X0123P所以随机变量X的期望为E(X)0123.10(2021青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育
7、锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：min)进行调查，将收集的数据分成0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60六组，并作出频率分布直方图(如图)将日均课外体育锻炼时间不低于40 min的学生评价为“课外体育达标”(1)请根据直方图中的数据填写下面的22列联表，并通过计算，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关课外体育不达标课外体育达标总计男60女110总计(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层随机抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查记“
8、课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望附：2.P(2k0)0.150.050.0250.0100.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828解：(1)由题意得“课外体育达标”人数为200(0.0200.005)1050，则“课外体育不达标”人数为150，所以列联表如下：课外体育不达标课外体育达标总计男603090女9020110总计15050200所以26.0616.635.所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“课外体育达标”与性别有关(2)采用分层随机抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由
9、题意可知，的所有可能取值为1,2,3，P(1)，P(2)，P(3)，故的分布列为123P故的数学期望E()123.B组新高考培优练11(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X0)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()AP(X1)E(X)BE(3X2)4CD(3X2)4DD(X)AB解析：随机变量X服从两点分布，其中P(X0)，所以P(X1)，E(X)01，D(X)22.在A中，P(X1)E(X)，故A正确；在B中，E(3X2)3E(X)2324，故B正确；在C中，D(3X2)9D(X)92，故C错误；在D中，D(X)，故D错误故选AB.12(多选题)某市
10、有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览已知该游客游览A景点概率为，游览B，C和D景点的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，则()A游客至多游览一个景点的概率为BP(X2)CP(X4)DE(X)ABD解析：记该游客游览i个景点为事件Ai，i0,1，则P(A0)，P(A1)3C2，所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)P(A1)，故A正确随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)P(A0)，P(X1)P(A1)，P(X2)C2C2，故B正确P(X3)C2C3，P(X4)3，故C错误数学期望为E(X)01234，故D正确故选ABD.
11、13(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则()A抽取2次后停止取球的概率为B停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为C取球次数的期望为2D取球次数的方差为BD解析：设取球次数为，可知随机变量的可能取值有1,2,3，则P(1)，P(2)，P(3).对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(2)，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P(1)P(2)，B选项正确；对于C选项，取球次数的期望为E()123，C选项错误；对于D选项，取球次数的方差为D()222，D选项正确故选BD.14(2020四川南
12、充高三模拟)为弘扬新时代的中国女排精神甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制(即某队先赢三局则获胜，比赛随即结束)若两队的竞技水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是_解析：因为两队的竞技水平和比赛状态相当，所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5.设比赛结束时已经进行的比赛局数为，则的可能取值为3,4,5.P(3)C3C3，P(4)C2C2，P(5)C22，所以的分布列为345PE()345.15某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7 000元，在延保的两年
13、内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；方案二：交纳延保金10 000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？解：(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6.P(X0)，P(X1)2，P(X2)2，P(X3)22，P(X4)2，P(X5)2，P(X6)，所以X的分布列为X0123456P(2)选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为Y17 0009 00011 00013 00015 000PE(Y1)7 0009 00011 00013 00015 00010 720(元)选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为Y210 00011 00012 000PE(Y2)10 00011 00012 00010 420(元)因为E(Y1)E(Y2)，所以该医院选择延保方案二较合算
