1、第二课 推理与证明 核心整合思维导图 考点突破素养提升 素养 逻辑推理 角度1 合情推理的应用【典例1】(1)观察图中各正方形图案,每条边上有n2个圆点,第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn与n的关系式为_.(2)已知结论:“在三边长都相等的ABC中,若D是BC的中点,G是ABC外接圆的 圆心,则 =2.”若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长都相等的四 面体ABCD中,若M是BCD的三边中线的交点,O为四面体ABCD外接球的球心,则 =_.”AGGDAOOM【解析】(1)依图构造规律可以看出:S2=24-4,即四角四顶点重复计数一次.S3=34-4=(3-1)4;S4=44
2、-4=(4-1)4,猜想:Sn=(n-1)4(n2,且nN+).答案:Sn=(n-1)4(n2,且nN+)(2)六条棱长都相等的四面体ABCD为正四面体,可得A,O,M共线,而且VO-BCD=VA-BCD,因此OM=AM,则 =3.答案:3 1414AOOM【解题策略】1.归纳推理的特点及一般步骤 2.类比推理的特点及一般步骤【补偿训练】观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.28 B.76 C.123 D.199【解析】选C.记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f
3、(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=4+7=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(nN+,n3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.角度2 直接证明【典例2】设a0,b0,a+b=1,求证 8.(用综合法证明)【证明】因为a0,b0,a+b=1,所以1=a+b2 ,ab ,所以 4.又 所以 8(当且仅当a=b=时等号成立).111abababab12141ab1111baab()
4、24ababab（），111abab12【延伸探究】能否用分析法证明典例2中的不等式?【证明】因为a0,b0,a+b=1,要证 8,只需证 8,只需证 8,即证 4.也就是证 4.即证 2,由基本不等式可知,当a0,b0时,2成立,所以原不等式成立.111abab11ab()abab1111()()abba11ababababbaabbaab【解题策略】综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合
5、法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.【补偿训练】求证:2cos(-)-(用分析法证明).【证明】要证原等式成立,只需证:2cos(-)sin-sin(2-)=sin,左边=2cos(-)sin-sin =2cos(-)sin-sin(-)cos-cos(-)sin =cos(-)sin-sin(-)cos=sin=右边.所以等式成立.sin2sin.sinsin（）角度3 间接证明【典例3】求证:不论x,y取何非零实数,等式 总不成立.【证明
6、】假设存在非零实数x,y使得等式 成立.于是有y(x+y)+x(x+y)=xy,即x2+y2+xy=0,即 =0.由y0,得 y20.又 0,所以 0,与x2+y2+xy=0矛盾,故原 命题成立.111xyxy111xyxy22y3(x)y24342y(x)222y3(x)y24【解题策略】对反证法的认识(1)如果一个命题的结论难以直接证明,可以考虑运用反证法.通过反设结论,经过逻辑推理,得出矛盾,从而肯定原结论成立.(2)反证法着眼于命题的转换,改变了研究的角度和方向,使论证的目标更为明确,由于增加了推理的前提原结论的否定,更易于开拓思路,因此对于直接论证较为困难的时候,往往采用反证法证明.所以反证法在数学证明中有着广泛的应用.(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常体现,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明:否定性、唯一性命题;至多、至少型问题;几何问题.
