1、高考资源网（） 您身边的高考专家21.4数乘向量1.了解数乘向量的定义、向量线性运算的性质及其几何意义2.理解数乘向量的含义3掌握数乘向量的运算及其几何意义,学生用书P39)1数乘向量(1)实数和向量a的乘积是一个向量，记作 a， a的长度| a|a|若a0，当0时， a的方向与a的方向相同；当0时， a的方向与a的方向相反当0或a0时，0a0或00(2)数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小(3)数乘向量的运算律设，为实数，则()a a a；( a)()a；(ab) a b(分配律)2向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算1判断(正
2、确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量a的积还是向量()(2)3a与a的方向相同，3a与a的方向相反()(3)若mamb，则ab.()答案：(1)(2)(3)24(ab)3(ab)b等于()Aa2b Ba Ca6b Da8b答案：D3点C在直线AB上，且3，则等于()A2 B C D2答案：D数乘向量运算的概念学生用书P39已知a、b是两个非零向量，判断下列说法是否正确，并说明理由(1)2a与5a的方向相同，且2a的模是5a的模的；(2)4a与a是共线向量，且4a的模是a的模的四倍；(3)ab与(ba)是一对相反向量【解】(1)正确，因为20，所以2a与a方向相同，且|2a|2|a|；因为
3、50，所以5a与a方向相同，且|5a|5|a|.所以2a与5a方向相同，且2a的模是5a的模的.(2)正确，因为40，所以4a与a方向相反，两向量共线又|4a|4|a|，所以(2)正确(3)错误法一：因为(ba)与ba是一对相反向量，而ab与ba是一对相反向量，故ab与(ba)为相等向量法二：因为(ba)baab，所以ab与(ba)为相等向量首先要意识到向量线性运算的结果仍是向量，然后要明确判断两向量的关系，应从两个方面入手，一是方向，二是长度 试判断下列说法的正误，并说明理由(1)若 a0，则0；(2)若非零向量a，b满足|ab|a|b|，0，则 a与b同向；(3)对于实数m、n和向量a，若
4、m an a，则mn.解：(1)错误a0，则0或a0.(2)错误由|ab|a|b|知a与b反向由0知与同号，所以 a与b反向(3)错误当a0时，虽有m0n00，但m与n不一定相等向量的线性运算学生用书P40(1)计算：4(ab)3(ab)8a；(5a4bc)2(3a2bc)；.(2)设向量a3i2j，b2ij，求(2ba)【解】(1)原式4a4b3a3b8a7a7b.原式5a4bc6a4b2cac.原式ab.(2)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变
5、形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算1.下列各式计算正确的个数是()(7)6a42a；a2b2(ab)3a；ab(ab)0.A0B1C2D3解析：选C.根据向量数乘的运算律可验证正确；错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数2若2(bc3x)b0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.解：因为2xabcxb0，所以xabc0，所以xabc，所以xabc.数乘向量在平面几何中的应用学生
6、用书P40已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点求证：()【证明】取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图因为E为AD的中点，所以.因为F是BC的中点，所以()又因为，所以()().所以()()(1)证明()可以用以下两种方法：利用几个首尾顺次相接且能围成封闭图形的向量和为零向量这一特征，此法较简单，但思考容量大，一般不易想到；可以构造一些新的向量，应用三角形法则直接求，此法也是常规解法，思路清晰易思考(2)向量线性运算几何意义应用中的常见结论：图形结论表示ab，ab两向量的有向线段恰为同一平行四边形的两条对角线2(D为BC中点)表示与a同向的单位向量 如图，在梯形A
7、BCD中，ABCD，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若a，b，试用a，b表示和.解：法一：连接CN(图略)因为ANDC，且ANDCAB，所以四边形ANCD为平行四边形所以b.因为0，所以ba，ab.法二：在梯形ABCD中，有0，即a(b)0，可得ba，在四边形ADMN中，有0，即ba0，可得ab.1数乘向量的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律相似，只是数乘向量的分配律由于因子的不同，可分为()aa a和分配律(ab) a b.2向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向
8、量的方程中同样适用，在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算1数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数特别要注意0时， a0，此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆，错误地表述成 a0.2要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如a，a是无意义的1.的结果是()A2abB2baCba Dab解析：选B.(2a8b)(4a2b)ababa2b2ba.2O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_解析：3e2，2e1，所以3e22e1().答案：3若向量方程2x3(x2a)0，则向量x_解析：原方程变形为2x3x6a0，所以x6a
9、.答案：6a,学生用书P107(单独成册)A基础达标1四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是()A平行四边形B梯形C菱形 D矩形解析：选B.由可得，ABDC且ABDC，所以四边形ABCD为梯形2已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，则()A.2 B.C.3 D2解析：选B.因为D为BC的中点，所以2，所以220，所以，所以.3在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选A.由已知条件可知BE3DE，所以DFAB，所以ab.4设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD解析：选
10、A.().故选A.5已知向量a，b不共线，实数x，y满足(2x2y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为()A3 B3C9 D2解析：选C.因为(2x2y)a(2x3y)b6a3b，所以，解得.所以xy639.6点C在直线AB上，且3，则_.解析：如图所示，由3可知，B为AC的三等分点，所以2.答案：27若ai2j，bi3j，则2a3b_解析：2a3b2(i2j)3(i3j)(2i3i)(4j9j)i13j.答案：i13j8如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则下列式子中与向量相等的是_(填序号)；.解析：因为，所以应填.答案：9(1)计算；(2)若3m2na，m3nb，其中a，b是已知向
11、量，求m，n.解：(1)原式abab0.(2)把已知中的两等式看作关于m，n的方程，联立方程组解得10已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f，4ef，5e3f.(1)用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形解：(1)(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为8e2f2(4ef)2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形B能力提升11如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，a，b，c，d，且E，F分别为AB，CD的中点，则()A(abcd)B(abcd)C(cdab
12、)D(abcd)解析：选C.如图连接OF，OE.()()(cd)(ab)所以(cdab)12已知.设，那么实数的值是_解析：因为，所以()，即(1)，又因为，所以.答案：13.如图所示，在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上任取一点D，使DBOB.设a，b，用a，b表示向量，.解：因为ACBA，所以()，即22ab.因为DBOB，所以ODOB，所以2abb2ab.14(选做题)已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f，4ef，5e3f.(1)将用e、f表示；(2)证明四边形ABCD为梯形解：(1)根据向量求和的多边形法则，有(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为8e2f2(4ef)2，即2.所以根据数乘向量的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD为梯形高考资源网版权所有，侵权必究！
