1、第3讲解析几何中的综合问题一、 填空题1. (2013苏、锡、常二模)若双曲线x2-=1(a0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于,则此双曲线的方程为.2. 已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p=.3. 已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,若等轴双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,AB=4,则等轴双曲线C的实轴长为.4. (2013盐城三模)在平面直角坐标系xOy中,点F是双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B.若=2,则双曲线的离心率为.5. 已知双曲线-=1
2、(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,0,点P是第一象限内双曲线上的点,且tanPF1F2=,tanPF2F1=-2,则双曲线的离心率为.6. (2013盐城一模)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,则的取值范围是.7. 设F1,F2是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点, P为直线x=上一点,DF2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为.8. 已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若FA=2FB,则k=.二、 解答题9. 如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴的左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短
3、轴为MN,且椭圆C1,C2的离心率都为e,直线lMN,l与椭圆C1交于B,C两点,与椭圆C2交于A,D两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1) 设e=,求BC与AD的比值;(2) 当e变化时,是否存在直线l,使得|BOAN|请说明理由.(第9题)10. 中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2,两准线间的距离为10.设点A(5,0),过点A作直线l交椭圆C于P,Q两点,过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S.(1) 求椭圆C的方程;(2) 求证:直线SQ过x轴上一定点B;(3) 若过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D,求过B,D两点、且以AD为切线的圆的方程.11. (2013
4、盐城三模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1.(1) 若椭圆C的焦点在x轴上,求实数m的取值范围;(2) 已知m=6.若P是椭圆C上的动点,点M的坐标为(1,0),求PM的最小值及对应的点P的坐标;过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,求证:是定值;并求出这个定值.第3讲解析几何中的综合问题1. x2-=12. 23. 44. 25. 6. 7. 8. 9. (1) 因为椭圆C1,C2的离心率相同,故依题意可设椭圆C1:+=1,椭圆C2:+=1(ab0),设直线l:x=t(|t|a),分别与椭圆C1,C2的方程联立,求得A
5、,B.当e=时,b=a,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标,可知BCAD=,故BC与AD的比值为34.(2) 当t=0时,l不符合题意.当t0时,若BOAN,则当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即=,解得t=-=.因为|t|a,又0e1,所以1,解得e1.所以当0e时,不存在直线l,使得BOAN;当eb0),依题意得得所以b2=4.所以椭圆的标准方程为+=1.(2) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),AP=tAQ,则结合得设B(x,0),则=t,x=1,所以直线SQ过x轴上一定点B(1,0).(3) 设过点A的直线方程为y=k(x-5),代入椭圆方程+=1得(4+5k2)x2
6、-50k2x+125k2-20=0.依题意,得=0,即(50k2)2-4(4+5k2)(125k2-20)=0,解得k=,且方程的根为x=1.所以D.当点D位于x轴上方时,过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E,直线DE的方程是y-=(x-1),所以E.所求的圆即为以线段DE为直径的圆,方程为+=;同理可得当点D位于x轴下方时,圆的方程为+=.11. (1) 由题意得m8-m0,解得4m8.即实数m的取值范围是(4,8).(2) 因为m=6,所以椭圆C的方程为+=1.设点P坐标为(x,y),则+=1.因为点M的坐标为(1,0),所以PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2-=-2x+3 =+,x.所以当x=时,PM的最小值为,此时对应的点P坐标为.由a2=6,b2=2,得c2=4,即c=2,从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),右准线方程为x=3,离心率e=.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点H(x0,y0),则+=1,+=1,所以+=0,即kAB=-.令k=kAB,则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-(x-x0).令y=0,则xN=ky0+x0=x0.因为F(2,0),所以FN=|xN-2|=|x0-3|.因为AB=AF+BF,所以AB=e(3-x1)+e(3-x2)=|x0-3|.所以=.即为定值.
