1、21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系人教版 数学 九年级 上册1.一元二次方程的求根公式是什么？224(40).2bbacxbaca【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？2.如何用判别式 b2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0).b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么x1+x2=-7,x1 x2=6.一元二次方程的根与系数的关系的应用素养考点 1探究新知（2）2x2-3x-2=0.解：这里
2、a=2,b=-3,c=-2.=b2-4ac=（-3）2 4 2 (-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么x1+x2=,x1 x2=-1.32探究新知不解方程，求方程两根的和与两根的积：x2+3x-1=0 2x2-4x+1=0123，xx121.xx122,xx解：原方程可化为：02122xx121.2xx二次项不是1，可以先把它化为1巩固练习例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=7.答：方程的另一个根是 ，k=
3、7.,5k3.53()5356,5利用根与系数的关系求字母的值或取值范围素养考点 2探究新知想一想，还有没有别的做法？已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得 k=-2.由根与系数关系，得x123k,即 2 x1 6.x1 3.答：方程的另一个根是3 ,k的值是2.巩固练习例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22 xxxx解：根据根与系数的关系可知：22212112212,xxxx xx2221212122xxxxx x213
4、31;4222 1212121132.2312 xxxxx x利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和素养考点 3探究新知（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).411214221)(xx2221xx巩固练习设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:例4设x1，x2是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
5、.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4,解得 k1=0,k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.21k根与系数关系的综合题目素养考点 4探究新知 归纳总结探究新知12111.xx1212;xxx x124.(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx221212xxx x2121212()2;xxx xx x125.xx212()xx21212()4.xxx x2221212122.()2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1
6、.(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于 0，k的值为9或-3.21k.23k（）2-4=1.21k23k巩固练习当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.一元二次方程x22x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A2B1C2D0D连接中考1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p=,q=.1-232-3课堂检测基 础 巩 固 题3.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是
7、1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x1,则：1 x1=x1=16.3ca 16.3课堂检测4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；12,xxk121.2kx x1()1 4,2kk （2）因为k=-7,所以 则：1 24.x x 12 7,x x22212121 2()()474(4)65.xxxxxx 课堂检测设x1,x2是方程3x2
8、+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2).2112xxxx 解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1 x2+x1+x2+1=（2）12124,1.3bcxxxxaa 44(-1)1;33 222211212121212123492xxxxxxx xxxx xx x（）-.课堂检测能 力 提 升 题1.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,由根与系数的关系，得,221kxx,2121 xx
9、1,21422 k3,22 k2 3.k课堂检测拓 广 探 索 题0,2.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足 x1-x2=1 求m的值.解：(1)方程有实数根24bacD=-m的取值范围为m0.(2)方程有实数根x1,x2.22,2121mmxxxx(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=11.2422mm解得m=8.经检验m=8是原方程的解课堂检测()()2242mm m=-鬃-22448mmm=-+80.m=根与系数的关系（韦达定理）内 容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应 用222121212()2xxxxx x22121212()()4xxxxx x12121211xxxxxx12bxxa 12cx xag课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习 谢谢观看Thank You!
