1、2.2.3两条直线的位置关系课程目标目标重点：两条直线平行、垂直的条件#目标难点：理解平行和垂直条件的思路#学法关键1注意在判断两条直线的位置关系时，如果斜率不存在，则不能运用垂直、平行的条件，而应该直接由图形得到。两直线的位置关系是在直线的斜截式的基础上讨论的，若是其他形式，可化为斜截式来处理。2求两直线l1、l2的交点，就是求解l1、l2直线方程组成的方程组，其理论依据是直线方程和方程的直线的概念.研习点1两条直线相交和平行与重合条件1已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0相交的条件是A1B2A2B10；或；l1与l2平行的条件是A1B2A2B1
2、=0且C1B2C2B10；或.l1与l2重合的条件是A1=A2，B1=B2，C1=C2，或.2判定两直线相交、平行、重合的步骤；已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则判断l1、l2是否平行相交与重合的步骤如下：（1）给A1、A2、B1，B2、C1、C2赋值；（2）计算D1=A1B2A2B1，D2=B1C2B2C1；（3）若D10，则l1与l2相交；（4）若D1=0，D20，则l1与l2平行；（5）若D1=0，D2=0，则l1与l2重合.3设两条直线的方程分别为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，若l1、l2有交点，则解
3、方程组有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是两条直线的交点。特别值得注意的是：当l1与l2的方程所组成的方程组无解时，说明l1与l2平行；当组成的方程组有无数个解时，说明l1与l2重合。研习点2两条直线垂直的条件1已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1、l2垂直的条件是A1A2+B1B2=0；2若l1的斜率是，l2的斜率为，即当l1、l2的斜率都存在时，直线l1与l2垂直的条件是k1k2=1，当两条直线垂直时，这两条直线的倾斜角的差为90。研习点3直线系一般地说，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫直线系方程，直线系方程中除
4、含变量x，y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，简称参数.经过定点的直线系方程：（1）如图所示，过定点P(x0,y0)的直线yy0=k(xx0)（k为参数）是一束直线（ 方程中不包括与y轴平行的那一条）（即x=x0），所以yy0=k(xx0)是经过点P(x0,y0)的直线系方程；（2）直线y=kx+b ,（其中k为参数，b为常数），它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴（即x=0）；（3）经过两条直线交点的直线系方程：l1：A1x+B1y+C1=0(A12+B120)与l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B220)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2
5、)=0，（其中m、n为参数，m2+n20）当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；当m=0，n=1时，方程即为l2的方程.上面的直线系可改写成（# $ # % & # (A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0（其中为参数），但是方程中不包括直线l2，但这个参数方程形式在解题中较为常用.题型1判断或证明直线的平行关系例1已知直线l1：3x+6y+10=0，l2：x=2y+5，求证：l1/l2.证法一：把l1与l2的方程写成斜截式， 因为k1=k2，b1b2，所以l1/l2.证法二：把l2的方程写成一般式x+2y5=0， 因为A1B2A2B1=0，B1C2B2C10，所以l1/l2.
6、例2已知两直线l1：mx+8y+n=0，l2：2x+my+1=0，试确定m、n的值，使l1/l2.解：由mm82=0，得m=4，由8(1)mn0，得n2，即m=4，n2或m=4，n2时l1/l2.题型2根据平行或垂直条件求直线方程例3求直线l的方程：（1）过点P(2，1)且与直线3x2y6=0平行；（2）过点P(1，1)且与直线2x+3y+1=0垂直；解： （1）因已知直线与所求直线平行，故所求直线可设为3x2y+C=0，由点P(2，1) 在直线上解得C=8，故所求直线方程为3x2y8=0.（2）因已知直线与所求直线垂直，故所求直线可设为3x2y+C=0，由点P(1，1)在直线上解得C=5，故
7、所求直线方程为3x2y5=0.题型3求直线交点例4求下列两直线的交点l1：3x+4y2=0，l2：2x+y+2=0解：解方程组得，所以两直线的交点是(2，2).题型4已知直线的位置关系，求参数值例5直线l1：(m+2)x+(m23m)y+4=0，l2：2x+4(m3)y1=0如果l1/l2，求m的值.解：若l1/l2.，则有，解得：m=4或m=3. 例6直线l1：ax+(1a)y3=0与l2：(a1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值.解：利用A1A2+B1B2=0，即a(a1)+(1a)(2a+3)=0解得：a=1 或a=3. 【教考动向演练】1如果直线ax+2y+2=0与直线3xy2
8、=0平行，那么系数a的值为（ B ） （A） （B）6 （C）3 （D）2若直线(2a+5)x+(a2)y+4=0与直线(2a)x+(a+3)y1=0互相垂直，则（ C ） （A）a=2 （B）a=2 （C）a=2或a=2 （D）a=2，0，23如果直线ax+y4=0与直线xy2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ A ） （A）1a1 （C）a2 （D）a24直线Ax+4y1=0与直线3xyC=0重合的条件是（ D ）（A）A=12，C0 （B）A=12，C= （C）A=12，C （D）A=12，C=5若两条直线l1，l2的方程分别为 A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0
9、，l1与l2只有一个公共点，则（ B ）（A）A1B1A2B2=0 （B）A1B2A2B10 （C） （D）6已知点P(1，1)和直线l：3x4y20=0，则过P与l平行的直线方程是 3x4y+1=0 ；过P与l垂直的直线方程是 4x+3y7=0 . 7设直线l1：(m2)x+3y+2m=0与l2：x+my+6=0，当m= m3且m1 时，l1与l2相交；当m= 1 时，l1与l2平行；当m= 时，l1l2. 例8设三条直线：x2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5交于一点，求k的值.解：解方程组：，解得即前两条直线的交点为，因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故，解得k=1或k
10、=。例9光线由点A(1，4)射出，在直线l：2x+3y6=0上进行反射，已知反射光线过点B(3，)，求反射光线所在直线的方程.解：设点A关于直线l：2x+3y6=0的对称点A的坐标为(x0，y0)，则由直线l的斜率为k=，得，即，得3x02y0=11，因为AA1的中点在直线l上，所以，得2x0+3y0=2联立方程组解得，所以反射光线AB所在直线的方程为：，得13x26y+85=0.【教考动向演练】8过两直线3x+y1=0与x+2y7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ B ） （A）x3y+7=0 （B）x3y+13=0 （C）2x7=0 （D）3xy5=09过点P(1，4)和Q(a
11、，2a+2)的直线与直线2xy3=0平行，则a的值（ B ） （A）a=1 （B）a1 （C）a=1 （D）a110直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ C ）（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关11经过两条直线2x+y8=0和x2y+=0的交点，且平行于直线4x3y7=0的直线方程是 4x3y6=0 .12直线ax+4y2=0与直线2x5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= 10 ，c= 12 ，m= 2 .例5 已知直线(a2)y=(3a1)x1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围 解
12、： (1)将方程整理得为a(3xy)+(x+2y1)=0，对任意实数a，恒过直线3xy=0与x2y+1=0的交点(，)， 直线系恒过第一象限内的定点(，)； (2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a2时，直线方程化为：y=x，不过第二象限的充要条件为 或 a2，总之，a2时直线不过第二象限例6 过点P(2，1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，| PA| PB|的最小值及此时l的方程 分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法 解 设直线AB的倾斜角为(), 则直线AB的参数方程为 令x=O，则得B点所对应的参数t=， 令y=O，则得A点所
13、对应的参数t= |PA|PB|=|= 当a=时|PA|PB|有最小值4，此时直线l的方程为 即例1 下面三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40不能构成三角形，求m的取值集合分析 根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解 （1）三条直线交于一点时：4xy40由解得l1和l2的交点A的坐标（， ），由A在mxy0l3上可得23m=4，解之m或m 1 （2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m4时，l1l2；当m时，l1l3；若l2l3，则需有
14、，m2不可能综合（1）、（2）可知，m1，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值集合是1，4 点评 善于将原问题等价转化，讨论问题注意全面性 例4 一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x4y80及3x4y70都相交，两交点间线段长3，求这直线方程分析 由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率 解 两平行线间的距离为3设直线交两平行线于A、B，直线与平行线的夹角为，则AB3sin 45，tan1，设所求直线的斜率为k，则tan|1，解得k或k7所求直线的方程为x7y190或7xy170 点评 要注意
15、平几知识、平几方法在解析几何中的应用练习1 两直线axy40与xy20相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）A1a2Ba1Ca2Da1或a22 设两直线L1，L2的方程分别为xyb0，xsiny0，（a，b为常数，为第三象限角），则l1与l2 （ ）A平行 B垂直 C平行或重合 D相交但不一定垂直3 设a，b，k，p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ）Aa2k2p2(1k2) Bk Cp Dakb4 若点（1，1）到直线xcosysin2的距离为d，则d的最大值是 5 一束光线经过点A（2，1），由直线l：x3y20反射后，经过点B（3，5）射出，则反射光线
16、所在直线的方程为 6 直线2xy40上有一点P，它与两定点A（4，1）、B（3，4）距离之差最大，则P点坐标是 7在ABC中，ABAC，A120，A（0，2），BC所在直线方程为xy10，求边AB、AC所在直线方程8已知ABC中，点A（3，1），AB边上的中线所在直线的方程为6x10y590，B的平分线所在直线的方程为x4y100，求BC边所在直线的方程参考答案1A 2B 3A 42 529x22y+230 6（5，6）7由题意得BC30，设AB边斜率的夹角公式得|，从而得k = 又AB斜率不存在时也适合题意，AB边所在直线方程为yx+2和x0. 8设B（a,b），则AB边中点为（, ）在AB边中线上，6+10590，又点B在B的平分线上，a4b+100由得 a10 ，b5由题意得，k从而BC边所在直线方程为2x+9y650.
