1、2.2.2反 证 法反证法著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示：运用了反证法的推理思想问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确1反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，
2、这种证明方法叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等1反证法实质用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：2反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“pq”与“綈q綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q綈p”为真命题来说明命题“pq”为真命题，证明过程不出现矛盾用反证法证明否定性命题设函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：
3、f(x)0无整数根假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，ab为偶数，则an2bnc为奇数，即n(anb)为奇数，n，anb均为奇数又ab为偶数，ana为奇数，即a(n1)为奇数，n1为奇数，这与n为奇数矛盾，f(x)0无整数根1用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明2反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程这个过程包括下面三个步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
4、(2)归谬由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立即反证法的证明过程可以概括为：反设归谬存真设a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明：假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20，所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立，所以a2b2c2d2abcd1.用反证法证明唯一性命题已知a0，求证关于x的方程axb有且只有一个实根由于a0，因此方程axb至少有一个实根x.
5、如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根，从而有ax1b，ax2b，两式作差得a(x1x2)0.因为x1x2，从而a0，这与已知条件a0矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即当a0时，关于x的方程axb有且只有一个实根用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线
6、a平行假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以假设错误，原命题成立.用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.常见“结论词”与“反设词”结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)
7、个至少有(n1)个结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立结论词都是一定是p或qp且q反设词不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数求证：函数yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.因为函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾，假设不成立，故原命题正确.(1
8、2分)如右图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线在同一平面内，设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220，证明l1与l2相交证明：假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为两直线的斜率，则有k1k2，代入k1k220，消去k1，得k20，k2无实数解，这与已知k2为实数矛盾，所以k1k2，即l1与l2相交1应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论ABC D解析：
9、选C除原结论不能作为推理条件外其余均可2用反证法证明命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除Da，b有1个不能被5整除解析：选B用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确3下列命题适合用反证法证明的是_(填序号)已知函数f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负实数根；若x，yR，x0，y0，且xy2，求证：和中至少有一个小于2；关于x的方程axb(a0)的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交解析：是“否定”型命题；是“至少”型
10、命题；是“唯一”型命题，且题中条件较少；中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明答案：4已知平面平面直线a，直线b，直线c，baA，ca.求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析：空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交答案：b与c平行或相交5若下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围解：若三个方程均无实根，则a1.设A，则RA，故所求实数a的取值范围是aa或a1.一、选择题1用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是()A假设三
11、内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至少有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”2用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”3用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应是()A.成立B.成立C.或成立D.且成立解析：选C“大于”的否定为“小于或等于” 4.“已知：ABC中，ABAC，求证：B180，这与三角形内角和定理相矛盾；(2)所以B0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明：假设，都不小于2，即2，2.x0，y0，1x2y,1y2x，2xy2(xy)，即xy2，与已知xy2矛盾，中至少有一个小于2.10已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根证明：假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01，且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根
