1、2 数 学 证 明 1.证明数学命题的依据和方法(1)依据:命题的条件和已知的定义、公理、定理.(2)方法:演绎推理.必备知识自主学习 2.演绎推理的一种形式三段论 一般模式大前提提供了一个一般性道理小前提研究对象的特殊情况结论根据大前提和小前提作出的判断【思考】演绎推理的结论一定正确吗?提示:演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论就一定正确.3.合情推理与演绎推理 推理方式意义主要形式结论的真假合情推理认识世界、发现问题的基础归纳推理、类比推理不确定演绎推理证明命题、建立理论体系的基础三段论真【思考】合情推理与演绎推理的作用相同吗?提示:合情
2、推理与演绎推理的作用是相同的,二者是相辅相成的,数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理;数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)演绎推理一般模式是“三段论”形式.()(2)演绎推理的结论是一定正确的.()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()提示:(1).演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提、小前提和结论.(2).在演绎推理中,只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下,其结论才是正确的.(3).演绎推理是由一般到特殊的推理.2.因为正弦函数是周期函数,f(x)=sin|x|是正弦函数,所以f(x)=sin|
3、x|是周期函数,以上推理()A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确【解析】选C.根据演绎推理得:小前提:f(x)=sin|x|是正弦函数,错误.3.推理:“矩形是平行四边形;正方形是矩形;所以正方形是平行四边形.”中的大前提是_(只填序号).【解析】由“三段论”的推理过程可知,是大前提.答案:4.“不能被2整除的整数是奇数,35不能被2整除,所以35是奇数.”把此演绎推理写成“三段论”的形式.大前提:_,小前提:_,结论:_.【解析】大前提是不能被2整除的整数是奇数,小前提是35不能被2整除,结论是35是奇数.答案:不能被2整除的整数是奇数 35不能被2整除 35是奇数
4、 关键能力合作学习 类型一 用三段论证明几何问题【典例】用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提.如图,已知在梯形ABCD中,AB=CD=AD,AC和BD是梯形的对角线,求证:AC平分BCD,DB平分CBA.【思路导引】首先根据一般性的原则或定理写出大前提,再结合题中条件找到大前提所对应的小前提,由此层层推理,就可得出结论.【证明】因为等腰三角形两底角相等,(大前提)而DAC是等腰三角形,1和2是两个底角,(小前提)所以1=2.(结论)因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,(大前提)1和3是平行线AD,BC被AC截得的内错角,(小前提)所以1=3.(结论)因为等于同一个角的两个角相等,(
5、大前提)2=1,3=1,(小前提)所以2=3,即AC平分BCD.(结论)同理可证DB平分CBA.【解后反思】在梯形ABCD中,DAC和ACB是什么关系?提示:因为在梯形ABCD中,AD和BC平行,所以DAC和ACB是内错角,且相等.【解题策略】1.用“三段论”证明命题的格式 (大前提)(小前提)(结论)2.用“三段论”证明命题的步骤(1)理清证明命题的一般思路.(2)找出每一个结论得出的原因.(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.【跟踪训练】用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提.如图,在锐角ABC中,AD,BE是高,D,E为垂足,M为AB的中点.求证:ME=MD.【证明】因为有一
6、个内角为直角的三角形为直角三角形,(大前提)在ABD中,ADCB,ADB=90,(小前提)所以ABD为直角三角形.(结论)同理ABE也为直角三角形.因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,(大前提)M是直角ABD斜边AB上的中点,DM为中线,(小前提)所以DM=AB.(结论)同理EM=AB.1212因为和同一条线段相等的两条线段相等,(大前提)DM=AB,EM=AB,(小前提)所以ME=MD.(结论)1212【补偿训练】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,DEBA,求证:ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.【证明】因为同位角相等,两直线平行,(大前提)BFD与A是同位
7、角,且BFD=A,(小前提)所以FDAE.(结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DEBA,且FDAE,(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)因为平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形AFDE的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)类型二 演绎推理在代数证明中的应用【典例】设f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)的图像的一条对称轴是直线 x=.(1)求;(2)求y=f(x)的单调增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切.8【思路导引】由正弦函数y=sin x的对称轴为x=+k,可得的值,从而求得 函数的单
8、调增区间,求出函数y=f(x)的切线的斜率的取值范围与直线5x-2y+c=0的斜率比较,可证明二者不相切.2【解析】(1)因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,所以 =1,所以 +=k+kZ.因为-2,所以直线5x-2y+c=0与函数y=的图像不相切.33|y|sin(2x)|2cos(2x)|244，523sin(2x)4【解后反思】正弦函数f(x)=sin x的单调增区间和对称轴方程分别是什么?提示:单调增区间为 ,对称轴方程为x=k+(kZ).x|2kx2kkZ 22 （）2【解题策略】代数问题中的常见的利用三段论证明的问题 函数类问题比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等导数的
9、应用利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等【跟踪训练】已知a,b,m均为正实数,且ba,求证:【证明】因为不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,(大前提)b0,(小前提)所以mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数,不等号方向不变,(大前提)mbma,(小前提)bbm.aam所以mb+abma+ab,即b(a+m)a(b+m).(结论)因为不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变,(大前提)b(a+m)0,(小前提)所以 (结论)b(am)a(bm)bbm.a(am)a(am)aam，即【补偿训练】函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增加的.【证明
10、】任取x1,x2(-,1,且x1x2,f(x1)-f(x2)=(-+2x1)-(-+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).因为x10;因为x1,x21,x1x2,所以x2+x1-20.因此,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0,那么方程有两个相异实根,大前提 方程x2-2mx+m-1=0的判别式=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+30,小前提 所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.结论【新情境新思维】某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名
11、.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示:得出下面三个结论:甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前,则所有正确结论的序号是_.【解析】对于,甲同学的逻辑思维能力比较靠前,但是总成绩比较靠后,说明阅读表达能力排名比逻辑思维能力更靠后,故错误.对于,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维排名比较靠后,说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前,故错误.对于,甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲,丙,乙,故甲同学最靠前.故正确.对于,丙同学的阅读表达和逻辑思维排名居中,故总成绩排名也居中,但是乙同学的总成绩比居中靠前,故乙同学的总成绩比丙同学的总成绩排名更靠前,故正确.答案:
