1、第一课时导数的概念课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.根据具体的实例得到导数的概念，求函数的导数，培养学生的数学抽象与数学运算素养.新知探究在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如(1)摩托车的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛；(2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；(3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.问题上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，
2、它在数学上称为什么？提示函数的导数.1.平均变化率比值，即叫做函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率.2.导数导数是函数的平均变化率，当自变量的增量趋于0时的极限如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).拓展深化微判断1.函数在xx0处的导数反映了函数在区间x0，x0x上变化的快慢程度.()提示导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的.2.函数yf(x)在xx0处的导数值与x的正、负无关.()3.设xx0x，则xxx0，则
3、x趋近于0时，x趋近于x0，因此，f(x0) .()微训练1.设函数yf(x)x21，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A.2.1 B.1.1 C.2 D.0解析2.1.答案A2.设f(x)2x1，则f(1)_.解析f(1)2.答案2微思考1.导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征？提示导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度.2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示(1)平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在xx0处变化的快慢.(2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当x趋于0时，平均变
4、化率趋于一个常数，这个常数为函数在xx0处的瞬时变化率，它是一个固定值.题型一求函数的平均变化率【例1】已知函数h(x)4.9x26.5x10.(1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当x越来越小时，函数h(x)在区间1，1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当x越来越小时，函数f(x)在区间1，1x上的平均变化率逐渐
5、变大，并接近于3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1).(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.【训练1】求函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值.解函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2，2.1上的平均变化率为6230.112.3.题型二导数定义的直接应用【例2】利用导数的定义，求f(x)在x1处的导数.解yf(1x)f(1)，f(1) .规律方法求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求
6、函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0).【训练2】求函数yx在x1处的导数.解因为y(1x)x，所以1.2，所以f(1)2，即函数yx在x1处的导数为2.题型三导数概念的应用【例3】已知f(x)在x0处的导数f(x0)k，求下列各式的值：(1) ；(2) .解(1) f(x0)，即 f(x0)k. .(2)，即为函数f(x)在区间x0x，x0x上平均变化率.当x0时，必趋于f(x0)k， k， 2k.规律方法由导数的定义可知，若函数yf(x)在xx0处可导，则f(x) ，它仅与x0有关，与x无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为
7、f(1x)f(1)时，分母也应该是(1x)1，要注意公式的变形.【训练3】(1)若函数f(x)可导，则 等于()A.2f(1) B.f(1)C.f(1) D.f(2)已知函数f(x)可导，且满足 2，则函数yf(x)在x3处的导数为()A.1 B.2 C.1 D.2解析(1) f(1).(2)由题意，知f(3)2，故选B.答案(1)C(2)B一、素养落地1.在学习导数定义的过程中，培养了学生的数学抽象素养，在应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.2.在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相应的形式，利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以
8、将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式.二、素养训练1.函数y1在2，2x上的平均变化率是()A.0 B.1 C.2 D.x解析0.答案A2.已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()A.4 B.4xC.42x D.42(x)2解析42x.答案C3.设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于_.解析f(1)a，又f(1)3，a3.答案34.已知函数f(x)，则f(1)_.解析f(1) .答案5.若 1，求f(x0).解因为f(x0)1.所以f(x0).基础达标一、选择题1.如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是()A.1B.1C.2
9、D.2解析1.答案B2.设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()A.f(x)a B.f(x)bC.f(x0)a D.f(x0)b解析abx.f(x0)a.答案C3.已知函数yf(x)，且f(m)，则m的值为()A.4 B.2 C.2 D.2解析，f(m) ，m24，解得m2.答案24.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 1，则f(0)等于()A.2 B.2 C.1 D.1解析f(x)图象过原点，f(0)0，f(0) 1，故选C.答案C5.设f(x)为可导函数，且满足 1，则f(1)为()A.1 B.1 C.2 D.2解析令x0，则
10、x1(12x)2x0，所以 f(1)1.答案B二、填空题6.已知函数yx32，当x2时，_.解析(x)26x12.答案(x)26x127.已知函数yf(x)2x21在xx0处的瞬时变化率为8，则f(x0)_.解析由题知84x0，得x02，所以f(x0)2(2)219.答案98.若f(x0)2，则_.解析 f(x0)1.答案1三、解答题9.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为yf(t)3t.求函数yf(t)在t2处的导数f(2)，并解释它的实际意义.解因为3，所以f(2)3.f(2)的实际意义：水流在t2时的瞬时流速为3 m3/s.10.求函数y2x24x在x
11、3处的导数.解y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x，2x16.y|x3(2x16)16.能力提升11.已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，已知f(0)0，且对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_.解析由导数的定义，得f(0)a(x)bb0.又ac，c0.2.当且仅当ac时等号成立.答案212.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语
12、言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解山路从A到B高度的平均变化率为hAB，山路从B到C高度的平均变化率为hBC，hBChAB，山路从B到C比从A到B要陡峭的多.创新猜想13.(多选题)若函数f(x)在xx0处存在导数，则 的值()A.与x0有关 B.与h有关C.与x0无关 D.与h无关解析由导数的定义可知，函数f(x)在xx0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.答案AD14.(多空题)过曲线yx21上两点P(1，2)和Q(1x，2y)作曲线的割线，当x0.1时，割线的斜率k_，当x0.001时，割线的斜率k_.解析y(1x)21(121)2x(x)2，2x，割线斜率为2x.当x0.1时，割线PQ的斜率k20.12.1.当x0.001时，割线PQ的斜率k20.0012.001.答案2.12.001
