1、课时训练18 等比数列【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（ ）A.充分不必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列an，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（ ）A.120 B.240 C.320 D.480【答案】C【解析】a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.a5+a6=320.3.数列an的
2、前n项和Sn=3n+a,要使an是等比数列，则a的值为（ ）A.0 B.1 C.-1 D.2【答案】C【解析】an=要使an成等比，则3+a=231-1=230=2,即a=-1.4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(nN*),则数列an前n项和Sn的取值范围是（ ）A.，2) B.，2C.，1) D.，1【答案】C【解析】因f(n+1)=f(1)f(n),则an+1=a1an=an，数列an是以为首项，公比为的等比数列.an=()n.Sn=1-()n.nN*,Sn1.5.等比数列an的各项都是正数，且a2,a
3、3,a1成等差数列，则的值是( )A. B.C. D.或【答案】B【解析】a3=a2+a1,q2-q-1=0,q=，或q=(舍).6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列an中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为( )A.32 B.64 C.64 D.256【答案】B【解析】因a1a99=16,故a502=16,a50=4,a40a50a60=a503=64.7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S和n表示P，那么P等于( )A.（SS B.C.()n D.【答案】B【解析】设
4、等比数列的首项为a1,公比q（q1）则P=a1a2an=a1n,S=a1+a2+an=,S=+,=(a12qn-1=a1n=P,当q=1时和成立.二、填空题（每小题5分，共15分）8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=_.【答案】384【解析】易知q1，由S5=93及=186.知a1=3,q=2,故a8=a1q7=327=384.9.(2010湖北八校模拟，13)在数列an中，Sn=a1+a2+an,a1=1,an+1=Sn(n1),则an=【答案】()（）n-2【解析】an+1=Sn,an=Sn-1(n2).-得,an+1-an=an,(n2).a2=S
5、1=1=,当n2时，an=（）n-2.10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_.若a,b,c成等比数列，则b= 若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列 若an的通项an=c(b-1)bn-1(bc0且b1),则an是等比数列 若an的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则an是等比数列 若an是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列【答案】【解析】中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1),故不正确，均可用定义法判断正确.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.
6、等比数列an的公比为q，作数列bn使bn=,(1)求证数列bn也是等比数列；（2）已知q1,a1=,问n为何值时，数列an的前n项和Sn大于数列bn的前n项和Sn.(1)证明：=q,为常数，则bn是等比数列.(2)【解析】Sn=a1+a2+an=,Sn=b1+b2+bn=,当SnSn时，.又q1,则q-10,qn-10,即qnq7,n7,即n7(nN*)时，SnSn.12.已知数列an:a1,a2,a3,an,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),(an-an-1),此数列是首项为1，公比为的等比数列.(1)求数列an的通项；（2）求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)由已知
7、得an-an-1=()n-1(n2),a=1,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1-()n.(2)Sn=a1+a2+a3+an=-+()2+()n=-1-()n=()n.13.在等比数列an中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.(1)求数列cn的前n项和Sn.(2)是否存在nN*,使得成立？请说明理由.【解析】(1)由已知得an=a1qn-1==11-log2a2n=11-log222n=11-2n.Sn=c1+c2+cn=-n2+10n.(2)假设存在nN*,使得即.22n+32n-30,解得.=1,而2n2,故不存在nN*满足.
8、14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)=,x(0,+),数列xn满足xn+1=f(xn),(n=1,2,),且x1=1.(1)设an=|xn-|,证明：an+1an;(2)设（1）中的数列an的前n项和为Sn，证明：Sn.证明：（1）an+1=|xn+1-|=|f(xn)-|=.xn0,an+1(-1)|xn-|xn-|=an,故an+1an.(2)由（1）的证明过程可知an+1(-1)|xn-|(-1)2|xn-1-|(-1)n|x1-|=(-1)n+1Sn=a1+a2+an|x1-|+(-1)2+(-1)n=(-1)+(-1)2+(-1)n=1-(-1)n.轻松阅读“教
9、育消费占首位”值得警惕 最近，中国社会科学院发布的2010年社会蓝皮书显示，子女教育费用在居民总消费中排第一位，超过养老和住房.中国社科院社会学研究所研究员李培林在报告中认为“这并不是很正常的”. 我国现有的人均GDP只有1 000美元，仍处于发展中国家的经济水平.在此情况下，教育费用占民民总消费第一位的状况，必然会挤占居民养老、住房、医疗等方面的费用开支.也就是说，教育费用居高不下，将直接影响到社会居民的医疗、养老等生命质量与日常生活水平的起码问题.由于我国现有老年人口已达总人口的10%（有的城市已超过此比例），且还有上升趋势，如果现在仍对教育费用居高不下的状况无动于衷，那么可以预见，在不久的将来，社会必将对养老、医疗等社会问题付出巨大代价.还有，从我国人口文化素质与社会的发展要求看，现有的教育水平不是高了，而是还需要在大发展.如果按现有的教育水准收，势必意味着我国必须为教育付出更多费用. 所以笔者觉得，教育费用占居民总消费第一位的社会现象，不仅对每个家庭，对教育自身的健康发展，同时对社会以后的健康发展，同时对社会以后的正常发展，都是一个亟待重视与解决的社会公共命题.
