1、2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则AB=( )ABCD2函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )A（0，1）B（2，3）C（3，4）D（4，5）3已知向量，满足（+2）（）=6，且|=1，|=2，则与的夹角为( )ABCD4将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )Ay=2cos2xBy=2sin2xCDy=cos2x5由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )ABC
2、1D26有四个关于三角函数的命题：p1：AR，+=；p2：A，BR，sin（AB）=sinAsinB；p3：x0，=sinx，p4：sinx=cosyx+y=其中假命题是( )AP1，P4BP2，P4CP1，P3DP2，P37已知函数f（x）=满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围是( )A（0，1）B（0，）C，）D，1）8定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知y=f（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是( )ABCD（，3）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为2，则
3、=_10已知x，yR+，x+y=1，则+的最小值为_11已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x0时，f（x）=x2+2x2x+1+a，则f（1）=_12在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角=，l的极坐标方程为_13（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的O中，AOB=90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为_14在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，AB=4，BC=2，ABC=60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则当=_时有最小值为_三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）在ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA（1）求AB的值；（
4、2）已知D为AB的中点，求线段CD的长16（13分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间17（13分）已知f（x）=sin（2x），且f（a+）=，（1）求cos；（2）求18（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间0，的最大值为6（1）求常数m的值；（2）求函数当xR时的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）求该函数x0，的单调增区间19（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2（1）求
5、a，b的值；（2）当x1，e时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）2x220（14分）已知函数f（x）=（x23x+3）ex，设t2，f（2）=m，f（t）=n（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（2）试判断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t2，总存在x0（2，t），满足=，并确定这样的x0的个数2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1函数的定义域为集合A，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则AB=( )ABCD【考点】交集及其运算；对数函数的定义域 【专题】计算题【分析
6、】根据负数没有平方根列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合A，根据负数和0没有对数列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为集合B，然后求出两集合的交集即可【解答】解：由函数有意义，得到12x0，解得：x，所以集合A=x|x；由函数y=ln（2x+1）有意义，得到2x+10，解得：x，所以集合B=x|x，在数轴上画出两集合的解集，如图所示：则AB=（，故选A【点评】此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集的运算此类题往往借助数轴来计算，会收到意想不到的收获2函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点可能落在下列哪个区间内( )A（0，1）B（2，3）C（3，4）D（4，5）【考点】函数零点
7、的判定定理 【专题】计算题【分析】欲求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，从而得到结论【解答】解：函数f（x）=|x2|lnxf（1）=10，f（2）=ln20f（3）=1ln30，f（4）=2ln40f（5）=3ln50f（1）f（2）0，f（3）f（4）0函数的零点在（1，2），（3，4）上，故选C【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题3已知向量，满足（+2）（）=6，且|=1，|=2，则与的夹角为( )ABCD【考点】
8、数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】利用向量的数量积公式，化简等式，即可求得与的夹角【解答】解：设与的夹角为（+2）（）=6，且|=1，|=2，1+8=6=1=|coscos=，又0，=故选B【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题4将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )Ay=2cos2xBy=2sin2xCDy=cos2x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左
9、平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查图象变化，是基础题5由直线y=x和曲线y=x3围成的封闭图形面积为( )ABC1D2【考点】定积分在求面积中的应用 【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x3x在区间0，1上的定积分的值的2倍，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案【解答】解：曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）、原点O和B（1，1）由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为S=2=
10、2（）=2（）=故选：B【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题6有四个关于三角函数的命题：p1：AR，+=；p2：A，BR，sin（AB）=sinAsinB；p3：x0，=sinx，p4：sinx=cosyx+y=其中假命题是( )AP1，P4BP2，P4CP1，P3DP2，P3【考点】命题的真假判断与应用 【专题】计算题【分析】判断特称命题为真只须举特例即可，判断全称命题为真，则需要严格证明，判断特称命题为假，须严格证明，而判断全称命题为假，只须举反例即可【解答】解：恒成立，命题p1为假命题当A=0，B=0时，sin（AB）=s
11、inAsinB，命题p2为真命题=|sinx|，而x0，sinx0，=sinx命题p3为真命题sin=cos0，而+0，命题p4为假命题故应选A【点评】本题考查了判断全称命题和特称命题真假的方法，解题时要准确把握命题特点，恰当判断7已知函数f（x）=满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围是( )A（0，1）B（0，）C，）D，1）【考点】函数单调性的性质 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据条件便有，从而得到f（x）在R上单调递减，这样根据一次函数、对数函数及减函数的定义便可得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围【解答】解：根据条件知，f（x）在R上
12、单调递减；解得；实数a的取值范围为）故选：C【点评】考查减函数的定义，根据减函数的定义判断一个函数为减函数的方法，以及一次函数、对数函数及分段函数的单调性8定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知y=f（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是( )ABCD（，3）【考点】简单线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系 【专题】压轴题；图表型【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案【解答】解：由图可知，当x0时，导函数f（x）0，原函数单调递增两正数a，b满足f（2a+b）1，02a+b4，b42a，0a2，画出可行
13、域如图k=表示点Q（1，1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：；当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5取值范围是C故选C【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为2，则=【考点】三角函数的周期性及其求法 【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】由二倍角公式化简函数解析式可得f（x）=sin2x，由周期公式即可解得的值【解答】解：f（x）=sinxcosx=si
14、n2x，最小正周期为2，2=，解得：=故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角公式，周期公式的应用，属于基础题10已知x，yR+，x+y=1，则+的最小值为3【考点】基本不等式 【专题】转化思想；不等式的解法及应用【分析】首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解【解答】解：x，yR+，x+y=1，+=+=+12+1=3，故答案为：3【点评】本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的灵活运用，属于中档题11已知函数y=f（x）为R上的奇函数，且x0时，f（x）=x2+2x2x+1+a，则f（1）=1【考点】函数奇偶性的性质；函数的值 【专题】计算题；函
15、数思想；函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可【解答】解：函数y=f（x）为R上的奇函数，且x0时，f（x）=x2+2x2x+1+a，可得f（0）=02+2020+1+a=0，解得a=2x0时，f（x）=x2+2x2x+1+2，f（1）=f（1）=12+221+1+2=1故答案为：1【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力12在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角=，l的极坐标方程为cossin+1=0【考点】简单曲线的极坐标方程 【专题】计算题；函数思想；分析法；坐标系和参数方程【分析】先把点的极坐标化为直角坐标，再求得直线方程的直角坐标方程，化为
16、极坐标方程【解答】解：在直角坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角=的直线的斜率为，其直角坐标方程是y1=（x1），即x+y+1=0，其极坐标方程为 cossin+1=0，故答案为：cossin+1=0，【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键13（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的O中，AOB=90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为【考点】与圆有关的比例线段 【专题】计算题【分析】延长BO交O与点C，我们根据已知中O的半径为2，AOB=90，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长【解答】解
17、：延长BO交O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知ADDE=BDDC，得故答案为：【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键14在等腰梯形ABCD中，已知ABCD，AB=4，BC=2，ABC=60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则当=时有最小值为【考点】平面向量数量积的运算 【专题】综合题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=2，所以=（+）（+），=（+）（+），=+，=42cos60
18、+22cos60+42+22cos120，=+2+22=，（当且仅当=时等号成立）故答案为：，【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）在ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA（1）求AB的值；（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）根据正弦定理即可求值得解（2）根据余弦定理可求cosA，由D为AB边的中点，可求AD，根据余弦定理即可求得CD的值【解答】（本题满分13分）解：（
19、1）在ABC中，根据正弦定理，于是（2）在ABC中，根据余弦定理，得，D为AB边的中点，AD=，在ACD中，由余弦定理有：（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题16（13分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】导数的综合应用【分析】（）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性【解答】解：（）函数f（x）的
20、定义域是（0，+），当a=1时，f（x）=xlnx，f（x）=1=，x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小f（x）在x=1处取得极小值1；（）h（x）=x+alnx，h（x）=1=，当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上，h（x）0，在（1+a，+）上，h（x）0，h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+）递增；当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，h（x）在（0，+）上递增【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题17（13分）已知f（x）=sin（2x），且f（a+）=，（1）求cos；（2）求【考点】三角函数中的恒等变
21、换应用 【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值【分析】（1）直接利用函数值列出方程，求出，利用两角和与差的三角函数求解即可（2）求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可【解答】解：（），又，=（）同理（），原式=（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力18（13分）若函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间0，的最大值为6（1）求常数m的值；（2）求函数当xR时的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）求该函数x0，的单调增区间【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值 【专题】计算
22、题；函数思想；三角函数的图像与性质【分析】化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，（1）利用已知条件求出相位的范围，然后求解m即可（2）求出函数的最小值，然后求解x的集合（3）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间即可【解答】解：（1）函数f（x）在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间的最大值为=6，解得m=3（2）（xR）的最小值为2+4=2此时x的取值集合由，解得：（3）函数设z=，函数f（x）=2sinz+4的单调增区间为由，得，设A=0，B=x|，x0，的增区间为：（13分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力19（14分）
23、设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2（1）求a，b的值；（2）当x1，e时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）2x2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】方程思想；构造法；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f（1）=2，解方程可得a，b的值；（2）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；（3）构造函数g（x）=f（x）（2x2）=2xx2+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式【解答】解：（1）函数f（x）
24、=x+ax2+blnx的导数为 由已知条件得，解得 a=1，b=3（2）f（x）的定义域为（0，+），由（1）知f（x）=xx2+3lnx令 f（x）=0解得 xf（x）+0f（x）增减当x=时，取得最大值 ；当x=e时，取得最小值 f（e）=ee2+3（3）设g（x）=f（x）（2x2）=2xx2+3lnx，当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减即有x=1处取得极大值，且为最大值0故当x0时，g（x）0，即f（x）2x2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数的思想方法证明不等式，属于中档题20（14分）
25、已知函数f（x）=（x23x+3）ex，设t2，f（2）=m，f（t）=n（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（2）试判断m，n的大小并说明理由；（3）求证：对于任意的t2，总存在x0（2，t），满足=，并确定这样的x0的个数【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】综合题【分析】（）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（）运用函数的极小值进行证明，（）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定【解答】解：（1）因为f（x）=（2x3）ex+（
26、x23x+3）ex，由f（x）0x1或x0，由f（x）00x1，函数f（x）在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，要使函数f（x）在2，t上为单调函数，则2t0，（2）因为函数f（x）在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（2）=13e2e，所以f（x）在2，+）上的最小值为f（2），从而当t2时，f（2）f（t），即mn，（3）证：，即为x02x0=，令g（x）=x2x，从而问题转化为证明方程g（x）=0在（2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（2）=6（t1）2=，g（t）=t（t1）=，所以当t4或2t1时，
27、g（2）g（t）0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且只有一解，当1t4时，g（2）0且g（t）0，但由于g（0）=0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2x6=0，所以g（x）=0在（2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t2，总存在x0（2，t），满足 ，且当t4或2t1时，有唯一的x0适合题意，当1t4时，有两个x0适合题意【点评】本题以函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的极值，同时考查了方程解的个数问题，综合性强，尤其第（3）问能力要求比较高
