1、2016-2017学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=0，1，2，3，4，5，B=1，3，6，9，C=3，7，8，则（AB）C=（A3B3，7，8C1，3，7，8D1，3，6，7，82把函数y=sinx（xR）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A，xRB，xRC，xRD，xR3函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A2，B2，C4，D4，4设a=20.
2、3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbca5给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD6函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，e）D（3，4）7函数y=的图象大致是（）ABCD8如图所示，由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于（）A1BCD9以下说法正确的有（）（1）y=x+（xR）最小值为2；（2）a2+b22ab对a，bR恒成立；（3）ab0且cd0，则必有acbd；（4）命题“xR，使得x2+x+10”的否定是“xR，使得x
3、2+x+10”；（5）实数xy是成立的充要条件；（6）设p，q为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”也为假命题A2个B3个C4个D5个10已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：x1045f（x）1221（1）函数y=f（x）是周期函数；（2）函数f（x）在（0，2）上是减函数；（3）如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；（4）当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中真命题的个数有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）11|2x1|3的解集是
4、12已知ABC中，AB=6，A=30，B=120，则ABC的面积为13如果函数f（x）=ax2+2x3在区间（，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是14已知函数f（x）=那么不等式f（x）1的解集为15若f（x）=，则f（x）dx=16已知函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，给出如下命题：0是函数y=f（x）的一个极值点；函数y=f（x）在处切线的斜率小于零；f（1）f（0）；当2x0时，f（x）0其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知一元二次不等式x2axb0的解集是x|1x3（1
5、）求实数a，b的值；（2）解不等式118设命题p：关于m的不等式：m24am+3a20，其中a0，命题q：x0，使x+1m恒成立，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围19设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b20已知函数f（x）=（sin2xcos2x）+2sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）设x，求f（x）的值域和单调递增区间21已知函数f（x）=x3ax1（1）若f（x）在（，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试
6、说明理由22已知函数f（x）=lnxa（x1），其中a0（）若函数f（x）在（0，+）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x1）；（）令F（x）=f（x）+a（x1）+（0x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值2016-2017学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=0，1，2，3，4，5，B=1，3，6，9，C=3，7，8，则（AB）C=（A3B3，7，8
7、C1，3，7，8D1，3，6，7，8【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据交集与并集的定义进行计算即可【解答】解：集合A=0，1，2，3，4，5，B=1，3，6，9，所以AB=1，3，又集合C=3，7，8，所以（AB）C=1，3，7，8故选：C2把函数y=sinx（xR）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A，xRB，xRC，xRD，xR【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】先根据左加右减的原则进行平移，再根据横坐标缩短到原来的倍时w变为原来的2倍进行变换，即可得到答案【解答】解：
8、由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）的图象故选：C3函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A2，B2，C4，D4，【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】通过图象求出函数的周期，再求出，由（，2）确定，推出选项【解答】解：由图象可知： T=，T=，=2；（，2）在图象上，所以 2+=2k，=2k，（kZ），k=0，=故选：A4设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）Aab
9、cBcbaCcabDbca【考点】对数值大小的比较【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系【解答】解：00.321log20.3020.31log20.30.3220.3，即cba故选B5给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD【考点】函数单调性的判断与证明【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y=|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y=2x+1为增函数【解答】解：是幂函数，其
10、在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B6函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，e）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理【分析】函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反【解答】解：f（1）=ln（1+1）2=ln2
11、20，而f（2）=ln31lne1=0，f（1）f（2）0，函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间是 （1，2），故选：B7函数y=的图象大致是（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项【解答】解：f（x）=f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D8如图所示，由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于（）A1BCD【考点】定积分【分析】首先利用定积分的几何意义表示阴影部分的面积，然后计算定积分即可【解答】解：由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图
12、形的面积等于=2|=；故选：B9以下说法正确的有（）（1）y=x+（xR）最小值为2；（2）a2+b22ab对a，bR恒成立；（3）ab0且cd0，则必有acbd；（4）命题“xR，使得x2+x+10”的否定是“xR，使得x2+x+10”；（5）实数xy是成立的充要条件；（6）设p，q为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”也为假命题A2个B3个C4个D5个【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】逐项判断即可（1）当x0时易知结论错误；（2）作差即可判断；（3）根据两边都为正数的同向不等式的可乘性易得；（4）根据特称命题的否定形式即可判断；（5
13、）取特殊值易得；（6）根据复合命题的真值易得【解答】解：（1）当x0时函数，无最小值，故（1）错误；（2）a2+b22ab=（ab）20对任意实数a，b都成立，a2+b22ab对任意实数a，b恒成立，故（2）正确；（3）根据不等式的性质易知（3）正确；（4）根据特称命题的否定形式知，命题“xR，使得x2+x+10”的否定应为“xR，x2+x+10”，故（4）错误；（5）取x=1，y=1满足xy，但，故（5）错误；（6）若pq为假命题，则p，q都为假命题，所以p，q都为真命题，所以pq为真命题，故（6）错误综上可得正确命题为（2）（3）故选A10已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，
14、f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：x1045f（x）1221（1）函数y=f（x）是周期函数；（2）函数f（x）在（0，2）上是减函数；（3）如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；（4）当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中真命题的个数有（）A1个B2个C3个D4个【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案【解答】解：函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数y
15、=f（x）的图象如图所示：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：函数的定义域为闭区间，而周期函数的定义域一定是无界的，故为假命题；为真命题因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；由已知中y=f（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x1，t时，f（x）的最大值是2，那么0t5，故t的最大值为5，即错误；函数f（x）在定义域为1，5共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即错误，故选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）11|2x1|3的解集是（，12，+）【考点】绝对值不等
16、式的解法【分析】利用绝对值不等式的解法可知，|2x1|32x13或2x13，从而可得答案【解答】解：|2x1|3，2x13或2x13，解得x2或x1，不等式|2x1|3的解集是：（，12，+）故答案为：（，12，+）12已知ABC中，AB=6，A=30，B=120，则ABC的面积为【考点】三角形中的几何计算【分析】先根据三角形内角和，得到C=180AB=30，从而A=C，所以BC=AB=6，最后用正弦定理关于面积的公式，可得ABC的面积为BCABsinB=，得到正确答案【解答】解：ABC中，A=30，B=120，C=18030120=30A=CBC=AB=6由面积正弦定理公式，得SABC=BC
17、ABsinB=66sin120=即ABC的面积为故答案为：13如果函数f（x）=ax2+2x3在区间（，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是【考点】二次函数的性质【分析】当a=0时，f（x）=2x3在（，4）上单调递增，当a0时，则实数a满足，可求【解答】解：当a=0时，f（x）=2x3在（，4）上单调递增，满足题意当a0时，若使得函数f（x）=ax2+2x3在区间（，4）上是单调递增，则实数a满足，解可得综上可得，故答案为14已知函数f（x）=那么不等式f（x）1的解集为（，03，+）【考点】函数单调性的性质【分析】利用特殊函数的单调性，分步讨论【解答】解：函数在x0时为增函数，且故当3
18、，+）时，f（x）1函数在x0时为减函数，又知=1，故当（，0时，f（x）1故答案为（，03，+）15若f（x）=，则f（x）dx=【考点】定积分【分析】根据函数各段的自变量范围将定积分表示1到0以及0到1上的定积分的和，分别计算定积分值即可【解答】解：f（x）=，则f（x）dx=（）|+（）|=+=；故答案为：16已知函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，给出如下命题：0是函数y=f（x）的一个极值点；函数y=f（x）在处切线的斜率小于零；f（1）f（0）；当2x0时，f（x）0其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系；函
19、数在某点取得极值的条件【分析】x0时，f（x）0；x=0时，f（x）=0；x0时，f（x）0所以0是函数y=f（x）的一个极值点由f（）0，知函数y=f（x）在处切线的斜率大于0由2x0时，f（x）0，知f（1）f（0）【解答】解：x0时，f（x）0；x=0时，f（x）=0；x0时，f（x）00是函数y=f（x）的一个极值点f（）0，函数y=f（x）在处切线的斜率大于02x0时，f（x）0，f（1）f（0）2x0时，f（x）0故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知一元二次不等式x2axb0的解集是x|1x3（1）求实数a，b的值；（2
20、）解不等式1【考点】其他不等式的解法【分析】（1）由题意可得1和3是x2axb=0的实数根，利用韦达定理求得 a和b的值（2）不等式即1，即0，即（x3）（x+7）0，解一元二次不等式，求得x的范围【解答】解：（1）因为不等式 一元二次不等式x2axb0的解集是x|1x3，1和3是x2axb=0的实数根，1+3=a，13=b，即 a=4，b=3（2）不等式1，即为1，即0，即（x3）（x+7）0，x3，或 x7，故原不等式的解集为x|x3，或 x718设命题p：关于m的不等式：m24am+3a20，其中a0，命题q：x0，使x+1m恒成立，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【考点】必要条
21、件、充分条件与充要条件的判断【分析】通过解不等式先化简条件p，q；将条件p是q的充分但不必要条件转化为AB，根据集合的包含关系，列出不等式组，解不等式组求出a的范围【解答】解：解m24am+3a20，a0，得：3ama，由x0，x+2=4，若x0，使x+1m恒成立，则1m4，解得m3，p是q的充分不必要条件，03a3，解得：1a0，a的取值范围为1，0）19设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由ABC为锐角
22、三角形可得答案（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值【解答】解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得（）根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=27+2545=7所以，20已知函数f（x）=（sin2xcos2x）+2sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）设x，求f（x）的值域和单调递增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】（）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合=2，可得f（x）的最小正周期；（）当x，时，结合正弦函数
23、的图象和性质可得f（x）的值域，由递增时，可得f（x）的单调递增区间【解答】解：（）=，=2，f（x）的最小正周期为 （），f（x）的值域为 当递增时，即故f（x）的递增区间为 21已知函数f（x）=x3ax1（1）若f（x）在（，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出原函数的导函数，由导函数在（，+）上大于等于0恒成立，分离参数a得答案；（2）求出原函数的导函数，分离参数a，求得3x2在（1，1）上的最大值得答案【解答】解：（1）f（x）=3x2
24、a，要使f（x）在（，+）上单调递增，需3x2a0在（，+）上恒成立，即a3x2在（，+）上恒成立，a0因此当 f（x）在（，+） 上单调递增时，a 的取值范围是（，0；（2）若f（x）在（1，1）上单调递减，则对于任意 x（1，1），不等式f（x）=3x2a0 恒成立，即 a3x2，又 x（1，1）时，3x23，a3，函数 f（x）在（1，1）上单调递减，实数a的取值范围是3，+）22已知函数f（x）=lnxa（x1），其中a0（）若函数f（x）在（0，+）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x1）；（）令F（x）=f（x）+a（x1）+（0x3），其图象上任意一点P（
25、x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求f（x）的导数，讨论导数的正负，可得f（x）的单调区间，利用函数f（x）在（0，+）上有极大值0，即可求a的值；（）切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f（x0）恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围，即得实数a的最小值（）分类讨论，利用函数的单调性，结合函数的定义域，求出函数f（x）在区间，e上的最大值【解答】解：（）当x时，f（x）0，当x时，f（x）0故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，因此函数f（x）在 （0，+）上有极大值lna=a1，解得a=1（），于是有在（0，3上恒成立，所以，当x0=1时，取最大值，所以；（）若，即，则当时，有f（x）0，函数f（x）在上单调递增，则f（x）max=f（e）=1ea+a若，即，则函数f （x）在上单调递增，在上单调递减，若，即ae，则当时，有f（x）0，函数f （x）在上单调递减，则综上得，当时，f（x）max=1ea+a；当时，f（x）max=lna1+a；当ae时，2017年1月6日
