1、第四节函数性质的综合问题考点1函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响(1)(2019全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()AfffBfffCfffDfff(2)(2017全国卷)函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f
2、(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2B1,1C0,4 D1,3(1)C(2)D(1)f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)f(x)ff(log34)f(log34)又log34log331，且1220，log34220.f(x)在(0，)上单调递减，f(2)f(2)f(log34)f.故选C.(2)f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.逆向问题设f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A3,3B2
3、,4C1,5 D0,6B因为f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，所以有2b3b0，解得b3，由函数f(x)在6,0上为增函数，得f(x)在(0,6上为减函数，故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.(1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)f(x2)的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x1x2(或x1x2)求解1.已知函数f(x)满足以下两个条件：任意x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0
4、；对定义域内任意x有f(x)f(x)0，则符合条件的函数是()Af(x)2x Bf(x)1|x|Cf(x)x3 Df(x)ln(x23)C由条件可知，f(x)在(0，)上单调递减，则可排除A、D选项，由条件可知，f(x)为奇函数，则可排除B选项，故选C.2函数yf(x)在0,2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)ffBff(1)fCfff(1)Dff(1)fB函数yf(x)在0,2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，函数yf(x)在2,4上单调递减，且在0,4上函数yf(x)满足f(2x)f(2x)，f(1)f(3)，ff(3)f，即ff(1)f.3(201
5、9滨州模拟)设奇函数f(x)定义在(，0)(0，)上，f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)D奇函数f(x)定义在(，0)(0，)上，在(0，)上为增函数，且f(1)0，函数f(x)的图象关于原点对称，且过点(1,0)和(1,0)，且f(x)在(，0)上也是增函数函数f(x)的大致图象如图所示f(x)f(x)，不等式0可化为0，即xf(x)0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x(1,0)(0,1)考点2函数的周期性与奇偶性已知f(x)是周期函数且为偶函数，求
6、函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解(2019福州质量检测)已知函数f(x)对任意的xR都满足f(x)f(x)0，f为偶函数，当0x时，f(x)x，则f(2 017)f(2 018)_.2依题意，f(x)f(x)，ff，所以f(x3)f(x)f(x)，所以f(x6)f(x)，所以f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)fff(1)1，所以f(2 017)f(2 018)2.解奇偶性、周期性的综合性问题的2个关键点(1)利用奇偶性和已知等式求周期(2)将未知区间上的问题转化为已知
7、区间上的问题求解1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 018)_.2因为f(x)f，所以f(x3)fff(x)所以f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 018)f(67232)f(2)f(1)f(1)2.2已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)2a3，则实数a的取值范围为_(，2)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a31，即a2.考点3单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往
8、需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题一题多解(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0C2 D50C法一：(直接法)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)，得f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数得f(0)0.又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，
9、f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.法二：(特例法)由题意可设f(x)2sin，作出f(x)的部分图象如图所示由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2.(1)函数的奇偶性与对称性的关系若函数f(x)满足f(ax)f(ax)，则其函数图象关于直线xa对称；当a0时可以得出f(x)f(x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数若函数
10、f(x)满足f(2ax)2bf(x)，则其函数图象关于点(a，b)对称；当a0，b0时得出f(x)f(x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数(2)函数的对称性与周期性的关系若函数f(x)关于直线xa与直线xb对称，那么函数的周期是2|ba|.若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|ba|.若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|ba|.(3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个教师备选例题(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在
11、1,0上单调递减，则f(x)在1,3上是()A增函数B减函数C先增后减的函数D先减后增的函数(2)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，有下列命题：函数f(x)的图象关于直线x4k2(kZ)对称；函数f(x)的单调递增区间为8k6,8k2(kZ)；函数f(x)在区间(2 018,2 018)上恰有1 008个极值点；若关于x的方程f(x)m0在区间8,8上有根，则所有根的和可能为0或4或8.其中真命题的个数为()A1B2C3 D4(1)D(2)C(1)根据题意，因为f(x1)f(x)，所以f(x2)f(x1)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.又
12、因为f(x)在定义域R上是偶函数，在1,0上是减函数，所以函数f(x)在0,1上是增函数，所以函数f(x)在1,2上是减函数，在2,3上是增函数，所以f(x)在1,3上是先减后增的函数，故选D.(2)正确，定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，f(x4)4f(x4)f(x)，即f(x8)f(x)，f(x)是以8为周期的周期函数，8k(kZ且k0)也是其周期又f(x)为R上的连续奇函数，由f(x4)f(x)，即f(x)f(x4)，得f(x)f(4x)，函数f(x)的一条对称轴为x2.又8k(kZ且k0)是f(x)的周期，f(x)f(x8k)f(4x)，函数的对称轴为x4k2(kZ
13、且k0)综上，函数f(x)的图象关于直线x4k2(kZ)对称，故正确；错误，作图如下：由图可知，函数f(x)的单调递减区间为8k6,8k2(kZ)，故错误；正确，由图可知，f(x)在一个周期内有两个极值点，在区间(2 016,2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(2 018，2 016和2 016,2 018)上没有极值点，故在区间(2 018,2 018)上有1 008个极值点，正确；正确，由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知， 关于x的方程f(x)m0在区间8,8上有根，则所有根的和可能为0或4或8，故正确综上所述，正确，故选C.1.(2016全国卷)已
14、知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则 (xiyi)()A0 BmC2m D4mB函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，即f(x)f(x)2，可得f(x)的图象关于点(0,1)对称，函数y，即y1的图象关于点(0,1)对称，函数y与yf(x)图象的交点也关于(0,1)对称，关于(0,1)对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为2.当交点不在对称轴上时，m为偶数， (xiyi)xiyi02m；当有交点在对称轴上时，m为奇数，则 (xiyi)xiyi0021m.综上， (xiyi)m.2已知定义在R上的奇
15、函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)D因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)
16、f(11)课外素养提升数学运算用活函数性质中的三个结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【例1】设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.2显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由
17、奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【素养提升练习】已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f(lg )()A1B0C1 D2D设g(x)ln(3x)，易知函数的定义域为R，关于原点对称，g(x)g(x)ln(3x)ln(3x)ln(3x)(3x)ln 10，g(x)为奇函数，g(lg 2)g(lg )g(lg 2)g(lg 2)0，又f(x)g(x)1，f(lg 2)f(lg )g(lg 2)1g(lg )12.抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周
18、期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.【例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0,3)时，f(x)x1，则f(2 017)f(2 018)()A3B2C1 D0C因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 017)f(2 017)，因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次又当x(0,3)时，f(x)x1，f(2 017)f(33
19、661)f(1)2，f(2 018)f(33662)f(2)3.故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31.【素养提升练习】(2019山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f_.f(x2)，f(x4)f(x)，ff，又2x3时，f(x)x，f，f.抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点
20、(a,0)对称【例3】函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_4因为函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数yf(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，则f(x2)f(x)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)f(50441)f(1)4，所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0，所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.【素养提升练习】已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则xi()A0 BmC2m D4mB函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，故函数f(x)的图象关于直线x1对称，函数y|x22x3|的图象也关于直线x1对称，故函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点也关于直线x1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，xi2m，当f(x)过点(1,4)时，xi21m.综上，xim.
