1、椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A.B.C.D4A由题意知F1(，0)，把x，代入方程y21得y21，解得y，则|PF1|，所以|PF2|4|PF1|4，故选A.2(2018全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A. B. C. D.C不妨设a0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c2，所以a2448，所以a2，所以椭圆C的离心率e.3椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D12C由题意知，即2m10.又2c4，即c2，则(10m)
2、(m2)4或(m2)(10m)4，解得m4或m8，故选C.4(2019呼和浩特模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点若A1PA2的最大值可以取到120，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.D由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，A1PA2有最大值，则tan 60，即.所以e211，即e，故选D.5ABC的周长是8，B(1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是()A.1(x3) B.1(x0)C.1(y0) D.1(y0)A由题意知|BC|2，|AB|AC|6，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆且2a6，c1，则b28.所以顶点A的轨迹方程为1(
3、x3)二、填空题6已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)且a2b，则椭圆的标准方程为 1由题意知解得因此所求椭圆方程为1.7已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是 由题意知解得又|F1F2|2，则|F1F2|2|PF2|2|PF1|2，即PF2F1F2.SPF1F2|F1F2|PF2|21.8椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是 (3,0)或(3,0)记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|PF2|2a10.则m|PF1|PF2|225，当且仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处
4、时，m取得最大值25.点P的坐标为(3,0)或(3,0)三、解答题9已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4,3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程解设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A，0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F2(5,0)2a|AF1|AF2|4，a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.10已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2
5、，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.1(2019哈尔滨模拟)设椭圆C：y21的左焦点为F，直线l：ykx(k0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|BF|的值是()A2B2C4D4C设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2.(图略)因为|OA|OB|，|OF|OF2|，所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|AF2|，所以|AF|BF|AF|AF2|2a4.故选C.2(2019衡水模拟)设椭圆1(ab0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，
6、且F1PF2，若F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R4r时，椭圆的离心率为()A. B. C. D.B由题意知|F1F2|2c，根据正弦定理可得2Rc，即R.由余弦定理得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4a23|PF1|PF2|，|PF1|PF2|(a2c2)SF1PF2|PF1|PF2|sin.又SF1PF2(|PF1|PF2|F1F2|)r(ac)r，(ac)r，r.由R4r得，故选B.3(2019揭阳模拟)已知椭圆的焦点在y轴上，中心在坐标原点，其在x轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则
7、该椭圆的标准方程为 1设椭圆上、下两个焦点分别为F1，F2，右顶点为A.由题意知|AF1|AF2|a2，|F1F2|2，cb则所求椭圆方程为1.4设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a
8、.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即把点N(x1，y1)代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.1若椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)和圆x2y22有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为()A.B.C. D.A由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得e.2已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为45.解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意得解得c.所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，n)由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE.所以直线DE的方程为y(xm)直线BN的方程为y(x2)联立解得点E的纵坐标yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|，所以BDE与BDN的面积之比为45.
