1、江苏省南通市通州区2020届高三数学下学期第一次模拟测试试题（含解析）一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1.已知集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】求出集合,集合,由此能求出.【详解】解：集合，集合，由题得，.故答案为：.【点睛】本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及划归与转化思想，属于基础题.2.设复数，则_【答案】3【解析】【分析】将复数化为的形式，利用复数的模的定义即可求出【详解】因为，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题3.已知函数，若，则的值是_.【答案】【解析】【分析】当时，求出；当时，无解.从而，由此能求
2、出结果.【详解】解：由时，是减函数可知，当，则，所以，由得，解得，则.故答案为：.【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.4.数列的前项和为，且，则数列的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由配方法求数列的最小值【详解】由，得，当时，适合上式，则当时故答案为【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题5.若变量满足，且恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】令，作平面区域，从而可得到的最大值，从而求得的最小值.【详解】解：令，作变量满足的平面区域如下，结合图象可知，且在处有最大值，故，即实数的最小值为.故答案为：
3、.【点睛】本题考查了线性规划的应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了转化思想的应用，属于基础题.6.青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为_【答案】【解析】【分析】利用分层抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数，记 “两名一等奖来自同一年级”，则事件包含的基本事件个数，由此能求出事件的概率【详解】解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT
4、的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：52，高二学生抽取：52，高三学生抽取：51，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n10，记 “两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m2，事件A的概率为p故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为_【答案】【解析】【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值【详解】圆柱与圆锥的底面半径，圆
5、柱与圆锥的高，可得圆锥的母线长为，则圆锥的全面积为：；圆柱的全面积为：圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：故答案为【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题8.执行下面的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为_. 【答案】3【解析】试题分析：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，满足条件，结束循环，此时故答案为.考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支
6、结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知，则_【答案】【解析】【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解.【详解】解：，即，解得，.故答案为：.【点睛】本题考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.10.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实
7、数的值为_.【答案】或.【解析】【分析】由题可知切线的斜率，又，所以切点坐标为，函数的图象在处的切线方程为.圆心到切线的距离，则，求出实数的值.【详解】因为，所以代入切点横坐标，可知切线的斜率.又，所以切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为.又因为圆，圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离.因为切线被圆截得弦长为，则，解得实数的值是或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.11.若正实数、满足，且，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由结合重要不等式得到；由 两边平方后变形，再根据重要不等式得到，进而可得所求的范围详解】由，得，当且仅当时等号
8、成立，所以由，得，即所以即，解得所以故的取值范围为【点睛】本题考查综合应用不等式知识解决问题，考查变形应用的能力，解题时要根据所求选择合适的不等式，同时要正确判断是将式子进行放大还是进行缩小，特别要注意等号能否成立12.已知直角三角形的两直角边，圆是该三角形的内切圆，是圆上的任意一点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，建立直角坐标系求出各点坐标以及对应向量的坐标，计算结果即可.【详解】解：由题意，直角三角形的斜边长为，由等面积法可得内切圆半径.建立如下图所示得直角坐标系，则根据图象可得,设，时，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了建立平面
9、直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，结合正弦函数的最大值的求法，体现了计算能力，属于中档题.13.已知函数，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据任意的，总存在使得成立，问题转化为的值域是值域的子集，故只需分别求出两个函数的值域，利用子集关系建立不等式，即可求出a的取值范围.【详解】因为函数在上单调递减，所以，即，所以函数的值域为，因为对任意的，总存在使得成立，故的值域是值域的子集，对，当时，符合题意；当时，函数在单调递增，所以，所以解得，又，所以，综上，实数a的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如
10、“任意的，都存在，使得成立”此类问题“等价转化”策略是利用的值域是值域的子集来求解参数的范围14.已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是_ .【答案】【解析】【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的，使得在上恒成立，得到，即，得出关于的不等式组，求解即可.【详解】解：函数，可得，令，则，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，.，存在唯一的，使得在上恒成立，在上有唯一解，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了导数函数最值问题，以及参数的取值范围，考查了存在性和恒成立问题，属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤.15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出的值，即可确定出角A的大小；(2)由的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值【详解】解：（1）由可得：，由正弦定理可得：，；（2）由（1）知，由余弦定理得，即，所以（当且仅当时取等号），所以面积的最大值为.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键16.如图，在三棱锥中，为的中点
12、，为上一点，且平面.求证：是的中点；若，求证：平面平面.【答案】证明见解析；证明见解析.【解析】【分析】利用线面平行的性质即可得证；直接利用面面垂直的判定定理证明即可.【详解】解：证明：平面，平面，平面平面，,为的中点，是的中点.证明：，是的中点，,且都在平面内，平面，平面，平面平面.【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.17.已知椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点为椭圆的左顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆，过点作圆的两条切线分别交椭圆于点和，求证：直线过定点.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据题中条件得到，再由即可求出
13、结果；（2）先设设切线的方程为，由圆心到直线的距离等于半径得到，再设两切线的斜率为，可得到，联立切线与椭圆方，设，可用分别表示出坐标，进而可求出，得到直线的方程，即可得出结果.【详解】（1）由题意得，解得，.椭圆的标准方程为.（2）设切线的方程为，则，即.设两切线的斜率为，则.联立，得，设，则，同理，则.直线的方程为，整理得，故直线过定点.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中直线过定点的问题，通常需要联立直线与曲线方程，结合题中条件求解，属于常考题型.18.如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与
14、的正切值之比为当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次设（小河河岸视为两条平行直线）（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求【答案】（1），；（2）当时，符合建桥要求.【解析】【分析】（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.【详解】（1）与的正切值之比为 则， ，（2）由（1）知：，令，解得
15、：令，且当时，；当时，函数在上单调递减；在上单调递增；时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求【点睛】本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.19.已知数列，其前项和为，满足，其中，.若，（），求证：数列是等比数列；若数列是等比数列，求，的值；若，且，求证：数列是等差数列.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.试题解析：（1）证明：若，则当()所以，即，所以， 又由，得，即，所以，故数列是等比数列
16、（2）若是等比数列，设其公比为（ ），当时，即，得， 当时，即，得，当时，即，得，-，得 ， -，得 ， 解得代入式，得 此时()，所以，是公比为的等比数列，故 （3）证明：若，由，得，又，解得由， ，代入得，所以，成等差数列，由，得，两式相减得：即所以相减得：所以所以， 因为，所以，即数列是等差数列.20.若函数和同时在处取得极小值，则称和为一对“函数”.（1）试判断与是否是一对“函数”；（2）若与是一对“函数”.求和的值；当时，若对于任意，恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）与不是一对“P(1)函数”，详见解析（2）或.【解析】【分析】（1）利用“函数”定义证明函数与不是一对“函数”；（
17、2）对a分a0，a0和a=0三种情况讨论，利用“函数”的定义求出和的值； 原命题等价于，构造函数求其最大值得解.详解】解:令.(1)则，因为与是一对“P(1)函数”所以，所以.此时，因，无极小值，故与不是一对“P(1)函数”.(2)， ，若与是一对“函数”，由，得，1.若，则有+0-0+极大值极小值因为在处取得极小值，所以，从而，经验证知在处取得极小值，所以，2.当时，则有+0-0+极大值极小值因为在处取得极小值，所以；从而，令，在是减函数，且，所以，从而经验证知在处取得极小值，所以3.当时，是增函数，无极小值，与题设不符.综上所述：或.因为，由之结论知，易见，故不等式等价于：，令，则.因为，
18、所以单调递减，所以，从而.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.附加题【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-2：矩阵与变换 21.选修42：矩阵与变换已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，是非零的平面列向量，求矩阵【答案】【解析】试题分析：先写出方程f（）=0得到ab=1，再根据题意令i=2得到2的值，从而求得矩阵M.详解：由题意，是方程的两根因，所以又因为，所以，从而所以因为，所以，从而
19、，故矩阵点睛：本题考查简单的矩阵计算，属于基础题.选修4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）曲线：（为参数，），分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.【答案】（1），. （2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求出；（2）先求出曲线的极坐标方程，分别与曲线，的极坐标方程联立，即可求出，进而得到，由三角函数求值域的方法即可求出取得最大值【详解】（1）因为，的极坐标方程为， 的普通方程为，即，对应极坐标方程为（2）曲线的极坐标方程为（，），设，则，
20、所以， 又，所以当，即时，取得最大值【点睛】本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程的互化，直线的普通方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程和的几何意义的应用，涉及三角函数知识的运用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题【必做题】每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤23.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px（p0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB4.（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2
21、相交于点P，求证：点P在定直线上.【答案】（1）p1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据AB4，知抛物线y22px（p0）过点（2，2），代入计算得到答案.（2）由题意设直线l的方程为：yk（x2），且k0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得到y1+y2，y1y24，根据直线方程得到P（1，），得到答案.【详解】（1）当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，由AB4，知抛物线y22px（p0）过点（2，2），代入抛物线方程，得42p2，解得p1；（2）证明：由题意设直线l的方程为：yk（x2），且k0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，化简得ky22y4
22、k0，由根与系数的关系得y1+y2，y1y24；又点C在直线AB上，则yC，所以直线l1的方程为y；又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y（x2）；联立，解得，所以点P（1，），所以点P在定直线x1上.【点睛】本题考查了抛物线的值，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.24.设实数，整数，(1)证明：当且时，；(2)数列满足，证明：.【答案】()证明见解析；()证明见解析.【解析】试题分析; (1) 用数学归纳法证明即可；(2) 先用数学归纳法证明，从着手，由 ，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将 进行转换，设法利用已证结论证明试题解析；() 证：用数学归纳法证明（1）当时，原不等式成立 （2）假设时，不等式成立 当时， 所以时，原不等式成立 综合（1）（2）,知当且时，对一切整数，不等式均成立（）先用数学归纳法证明（1）当时由假设知成立（2）假设时，不等式成立 由易知当时 由得 由（）中的结论得 因此，即，所以当时，不等式也成立 综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立 再由得，即综上所述， 【点睛】本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大
