1、微积分基本定理bxxxxxann1210,1iiixx 任取niixf1)(做和式：lim()()/(ninifbanA1且有，常数）复习：1、定积分是怎样定义？设函数f（x）在a，b上连续，在a，b中任意插入n-1个分点：把区间a,b等分成n个小区间，,1iixx 在每个小区间./)(1nabfnii badxxf)(则，这个常数A称为f(x)在a，b上的定积分(简称积分)记作nA()lim()b-a)/nbiaif x dxfn1即（xfSii)(被积函数被积表达式积分变量积分区间,ba积分上限积分下限nA()lim()b-a)/nbiaif x dxfn1即（积分和1、如果函数f（x）在
2、a，b上连续且f（x）0时，那么：定积分就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)(2、定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba)(复习：2、定积分的几何意义是什么？,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba说明：1A2A3A4Aab定积分的简单性质(1)()()()bbaakf x dxkf x dxk为常数1212(2)()()()()bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)()()()(acb)bcbaacf
3、 x dxf x dxf x dx题型1：定积分的简单性质的应用1()()()()f x dxf x dxf x dxf x dx23201701220161、化简30,dxxdxx dxx dx33323000981213924、已知，?)1512218()2(?)8634123032330dxxxxdxxxx（）（求：点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差问题2：一物体作变速直线运动,在时刻t时物体所在位置为S(t)，速度为v(t)（v(t)0）。由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速度 。设这个物体在时间段a，b内走过的路程为S
4、，你能分别用S(t)，v(t)来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？()()v ts t另一方面，从导数角度来看：如果该变速直线运动的位置函数为s=s(t)，则在时间间隔a,b内物体走过的路程为s(b)s(a)，所以又有).()(d)(asbsttvba由于，则称s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间a,b上的增量s(b)s(a).()()s tv tbattvd)(从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间间隔a,b内经过的路程s可以用定积分表示为.d)(battvs微积分基本定理：设函数f(x)在区间a,b
5、上连续，并且F(x)f（x)，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作说明：牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。基本初等函数的导数公式11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,(
6、)sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxaf xcfxf xxfxnxf xxfxxf xxfxxf xafxaa af xefxef xxfxaaxa 公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则且公式 若1()ln,();f xxfxx则例1 计算下列定积分 解（）()()|()()bbaa f x dxF xF bF a找出f(x)的原函数是关键 dxx2111 31 22xdxxx1ln 2ln1ln2lnln12121xdxx 813222231312xxdx练习1:_4_3_2_112131
7、031010dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121：公式例计算定积分 解:dxxx31221322311,3xxxxdxxdxxdxxdxx3123123123121313原式37611311313331313xx 达标练习：_14_1233_12_2312121221102dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee微积分基本定理)()()(aFbFdxxfba三、小结作业：教材习题4-2 A组 6|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定积分公式 6)()xxbxa e dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1
8、baxxdxx1)()bacxccdx 12)bnnnaxnxdxx 3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|lnxbaaa牛顿 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监
9、督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。返回莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿 同为微积分的创始人；1646年7月1日生于 莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺 威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家 庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年 入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻 辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉 诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有 人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。返回
