1、12 函数的极值01课前 自主梳理02课堂 合作探究03课时 跟踪训练一、函数极值的定义1极大值点与极大值：在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都_x0 点的函数值，称_为函数 yf(x)的极大值点，其_为函数的极大值2极小值点与极小值：在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都_x0 点的函数值，称_为函数 yf(x)的极小值点，其_为函数的极小值3极值与极值点：_与_统称为极值，_与_统称为极值点不大于 点x0 函数值f(x0)不小于 点x0 函数值f(x0)极大值 极小值 极大值点 极小值点二、求极值点的一般步骤1求出_
2、；2解方程_；3对于方程 f(x)0 的每一个解 x0，分析 f(x)在 x0左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若 f(x)在 x0 两侧的符号“_”，则 x0 为极大值点；(2)若 f(x)在 x0 两侧的符号“_”，则 x0 为极小值点；(3)若 f(x)在 x0 两侧的符号“_”，则 x0 不是极值点导数 f(x)f(x)0左正右负 左负右正 相同想一想1同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？提示：不一定，极值是一个局部概念例如函数y2x 8x 在x2时，取y极大值8；而当x2时，取y极小值8.2导数为0的点一定是极值点吗？导数为0是该点为极值点的什么条件？提示
3、：只有当这点左右两侧导数异号时为极值点，否则不是，如f(x)x3，在x0处导数为0，但不是极值点，由此可得导数为0不是该点为极值点的充分条件；又如f(x)|x|，x0为其极值点，但f(x)在x0处不可导，由此可得，某点为极值点也不是该点导数为0的充分条件综上，导数为0是该点为极值点的既不充分也不必要条件练一练3函数f(x)32x2ln x的极值点为()A0,1，1 B.33C 33D.33，33解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x1x3x21x，令f(x)0，得x 33 x 33 舍去.当x 33 时，f(x)0；当0 x 33 时，f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数
4、yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值2在f(x0)存在时，f(x0)0只是函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件，必须再加上在x0左右两侧导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的错误1.已知f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极大值是()A2ac B4acC3aDc解析：由导函数f(x)的图像知，当0 x0；当x2时，f(x)0，f(x)2ax2x2ax21x.当a0时，f(x)0，yf(x)为(0，)上的增函数，此时f(x)无极值当
5、a0时，函数f(x)无极值当a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点解析：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1 2x2axx2ax2x2.设g(x)x2ax2，对于二次方程g(x)0,判别式a28.当a280，即0a0都有f(x)0，此时f(x)在(0，)上是增函数，无极值点当a280，即a22时，仅对x2有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0，此时f(x)在(0，)上也是增函数，无极值点当a280，即a22时，方程g(x)0有两个不同的实数根x1a a282，x2a a282，0 x10；当x(1,2)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c.故由题意得58c13，
6、即c1.6设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围解析：(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1 2，x2 2.因为当x 2或x0；当 2x 2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，)；单调递减区间为(2，2)当x 2时，f(x)有极大值54 2；当x 2时，f(x)有极小值54 2.(2)由(1)的分析知yf(x)的图像的大致形状及走向如图所示所以，当542 a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在12，2 上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围解析：
7、(1)由题意，知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)exx1x2a 11x exx1axx1x2exaxx1x2.当a0时，对于任意的x(0，)，exax0恒成立，若x1，则f(x)0，若0 x1，则f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)(2)由题目条件，可知f(x)0在x12，2 上有三个不同的实根，即exax0在x12，2 上有两个不同的实根，且ae.令g(x)exx，则g(x)exx1x2.当12x0，当1x2时，g(x)0，当12x1时，g(x)单调递增，当1x0，实数a的取值范围为(2 e，e)数形结合思想在求解有关极值问题中的综合应用典例
8、设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解析(1)令f(x)3x230，得x11，x21.又因为当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，如图(1)，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.综上，当a2或a2时方程恰有两个实数根感悟提高 此类问题一般运用导数转化为函数性质的问题解决，画出函数的示意图，利用数形结合思想是解决该类问题的常用手段03课时 跟踪训练
