1、2015-2016学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|（1+x）（1x）0，B=x|y=，则AB=（）A（1，1）B（0，1）C0，1）D（1，02复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A1B2CD13“m0”是“直线mxy+1m=0与圆（x1）2+y2=1相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m5如图，程序框图
2、所进行的求和运算是（）ABCD6将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）Ax=Bx=Cx=Dx=7下列四个判断：某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有cab；设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），若记=xi， =yi，则回归直线方程=bx+
3、a必过点（，）；已知服从正态分布N（0，2），且P（20）=0.4，则P（2）=0.2其中正确判断的个数有（）A0个B1个C2个D3个8已知抛物线y2=2px（p0）上一点M（1，m）（m0）到其焦点的距离为5，双曲线x2ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）ABCD9等差数列an中，a1=2016，前n项和为Sn，若=2，则S2016=（）A2014B2015C2016D201710已知+=，且与的夹角为，|=|，设，的夹角为，则tan=（）ABC1D11已知a0且 a1，函数f（x）=+3loga（x），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）A
4、AB=4BA+B=4CAB=6DA+B=612函数f（x）=k在（0，+）上有两个不同的零点a，b（ab），则下面结论正确的是（）Asina=acosbBsinb=bsinaCcosa=bsinbDsina=acosb二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用_个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体14若a=cosxdx，则（+）4的展开式中常数项为_15设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2y在D上的最大值为_16已知f（x）=m（x2m）（x+m+3）
5、，g（x）=2x2，若同时满足条件：xR，f（x）0或g（x）0；x（，4），f（x）g（x）0则m的取值范围是_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量=（sinA，sinB），=（cosB， cosA），=+cos（A+B）（1）求C；（2）若c=3，b=a，求ABC的面积S18已知数列an，bn，其中a1=1，an=+， =（nN*）（1）求证：数列bn是等比数列；（2）求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn19某校为了在竞争中更好的发展，校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项
6、专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为，求的分布列和数学期望20在三棱锥PABC中，ABBC，平面PAB平面ABC，BC=2AB=1，PC=，PBA=（1）求证：BCPB；（2）求二面角APCB的大小21已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2
7、交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合（1）求m的取值范围；（2）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值22已知函数f（x）=axlnxx+1（a0）（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x（1，+），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当mn1时，mn1nm12015-2016学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|（1+x）（1x）0，B=x|y
8、=，则AB=（）A（1，1）B（0，1）C0，1）D（1，0【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：1x1，即A=（1，1），由B中y=，得到x0，即B=0，+），则AB=0，1），故选：C2复数z=的实部与虚部相等，则实数a=（）A1B2CD1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部与虚部相等列式求得a值【解答】解：z=的实部和虚部相等，即a+6=32a，解得：a=1故选：D3“m0”是“直线mxy+1m=0与圆（x1）2+y2=1相切”的（）A充分不必要条件
9、B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】直线与圆的位置关系【分析】直线mxy+1m=0过点（1，1），利用直线mxy+1m=0与圆（x1）2+y2=1相切，可得m=0，即可得出结论【解答】解：直线mxy+1m=0过点（1，1）直线mxy+1m=0与圆（x1）2+y2=1相切，m=0，“m0”是“直线mxy+1m=0与圆（x1）2+y2=1相切”的必要不充分条件，故选：B4设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行
10、判定即可得到结论【解答】解：A若mn，n，则m或m或m，故A错误B若m，则m或m或m，故B错误C若m，n，n，则m，正确D若mn，n，则m或m或m，故D错误故选：C5如图，程序框图所进行的求和运算是（）ABCD【考点】程序框图；数列的求和【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S值，分析循环变量的初值（由n=2决定）、终值（由n21决定）、及步长（由n=n+2决定）我们易得到结论【解答】解：由n=2知循环变量的初值为2由n21得循环变量的终值为20由n=n+2得循环变量步长为2又由S=S+，则S=，故选：A6将函数f（x）=sin（4
11、x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由题意根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin2（x）+=sin（2x）的图象令x=，求得g（x）=1，为函数g（x）的最大值，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线x=，故选：C7下列四个判断
12、：某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为；10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有cab；设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），若记=xi， =yi，则回归直线方程=bx+a必过点（，）；已知服从正态分布N（0，2），且P（20）=0.4，则P（2）=0.2其中正确判断的个数有（）A0个B1个C2个D3个【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用平均数的定义可得：两个班的数学的平均分为，即可判断出正误
13、；利用的定义可得：平均数为a=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，即可判断出正误；利用回归直线方程的性质可得：谢谢回归方程可得：必过点（，）；利用正态分布的对称性可得【解答】解：某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为，因此不正确；10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数为a=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，则有cba，因此不正确；设从总体中抽取的样本为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），若记=xi， =yi，则回归直线方程=bx+
14、a必过点（，），正确；已知服从正态分布N（0，2），且P（20）=0.4，则P（2）=0.1，因此不正确其中正确判断的个数有1个故选：B8已知抛物线y2=2px（p0）上一点M（1，m）（m0）到其焦点的距离为5，双曲线x2ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M（1，4），求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），准线方程为x=，由抛物线的定义可得|MF|=1+=5，解得
15、p=8，可得抛物线的方程为y2=16x，M（1，4），双曲线x2ay2=a的左顶点为A（，0），直线AM的斜率为，又双曲线的渐近线方程为y=x，由题意可得， =，解得a=，故选A9等差数列an中，a1=2016，前n项和为Sn，若=2，则S2016=（）A2014B2015C2016D2017【考点】等差数列的前n项和【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入求和公式计算可得【解答】解：设等差数列an的公差为d，则=2，所以d=2，又a1=2016，故S2016=2016a1+（2）=2016，故选：C10已知+=，且与的夹角为，|=|，设，的夹角为，则tan=（）ABC1D【考点】平面向量
16、数量积的运算【分析】作出图形，将问题转化为解三角形问题【解答】解：如图，设=， =，则COA=，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则=，ODB=AOD=BD=OA，OB=OA在OBD中，由正弦定理得：，=，解得sinBOD=，BOD=BOD+AOD=tan=故选：D11已知a0且 a1，函数f（x）=+3loga（x），设函数f（x）的最大值是A，最小值是B，则（）AAB=4BA+B=4CAB=6DA+B=6【考点】函数的最值及其几何意义【分析】讨论0a1和a1，判断函数f（x）的单调性，结合指数函数和对数函数的运算法则进行化简即可【解答】解：f（x）=+3loga=+3loga=3+3
17、loga（1），若a1，则为增函数，3loga（1）在x上为增函数，即f（x）在x上为增函数，此时函数的最大值A=f（），最小值B=f（），若0a1，则为减函数，3loga（1）在x上为减函数，即f（x）在x上为减函数，此时函数的最大值A=f（），最小值B=f（），则A+B=f（）+f（）=+3loga+3loga=+3loga+3loga3=+3loga1=4+0=4，故选：B12函数f（x）=k在（0，+）上有两个不同的零点a，b（ab），则下面结论正确的是（）Asina=acosbBsinb=bsinaCcosa=bsinbDsina=acosb【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点
18、的判定定理【分析】化简f（x），得方程有两个根，即函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+）上有两个交点，画出函数图象，利用导数求切线即可【解答】解：f（x）=k=，f（x）=k在（0，+）上有两个不同的零点a，b（ab），f（x）=k=0在（0，+）上有两个不同的根a，b（ab），即|sinx|=kx有两个根，函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+）上有两个交点，x0且k0，画出两个函数的图象，则函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，）上有一个交点A（a，sina），在（，2）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根当x（，2）时，f（x）=|sinx|=si
19、nx，f（x）=cosx，在B处的切线为y+sinb=f（b）（xb），将x=0，y=0代入方程，得sinb=b（cosb），=cosb，O，A B三点共线，=，=cosb，sina=acosb故选：D二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体【考点】由三视图还原实物图【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=222=，由于边长为2的正方体V=8，所以用3个这样的几何体可以拼成一个
20、棱长为2的正方体故答案为：314若a=cosxdx，则（+）4的展开式中常数项为【考点】定积分【分析】求定积分可得a值，由二项式的知识可得【解答】解：求定积分可得a=cosxdx=sinx=2，（+）4=（+）4，故展开式中的常数项为（）2（）2+（）2+（）4=+6+4=故答案为：15设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2y在D上的最大值为2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可【解答】解：当x0时，f（x）=，则f（1）
21、=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分z=x2y可变形成y=x，当直线y=x过点A（0，1）时，截距最小，此时z最大最大值为2故答案为：216已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2，若同时满足条件：xR，f（x）0或g（x）0；x（，4），f（x）g（x）0则m的取值范围是（4，2）【考点】全称命题；二次函数的性质；指数函数综合题【分析】由于g（x）=2x20时，x1，根据题意有f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时成立，根据二次函数的性质可求由于x
22、（，4），f（x）g（x）0，而g（x）=2x20，则f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x（，4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于g（x）=2x2，当x1时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则4m0即成立的范围为4m0又x（，4），f（x）g（x）0此时g（x）=2x20恒成立f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x（，4）有成立的可能，则只要4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当1m0时，较小的根为m3，m34不成立，（ii）当m
23、=1时，两个根同为24，不成立，（iii）当4m1时，较小的根为2m，2m4即m2成立综上可得成立时4m2故答案为：（4，2）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量=（sinA，sinB），=（cosB， cosA），=+cos（A+B）（1）求C；（2）若c=3，b=a，求ABC的面积S【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的公式求得sin（C+）的值，可得C的值（2）由条件利用余弦定理求得a的值，可得ABC的面积S【解答】解：（1）由题意可得，或（2）当时，根据c=3，b=a，由余弦定
24、理得c2=a2+b22abcosC，求得 a=3，当时，由勾股定理得a=，18已知数列an，bn，其中a1=1，an=+， =（nN*）（1）求证：数列bn是等比数列；（2）求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由已知得，由此能证明是首项为，公比q=2的等比数列（2）由是首项为，公比q=2的等比数列，得，从而，由此能求出数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn【解答】（1）证明：，即，又0，是首项为，公比q=2的等比数列（2）解：由（1）知bn=，n1，Sn=a1b1+a2b2+anbn=19某校为了在竞争中更好的发展，校领导
25、专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会，项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划，并召开了座谈会，问需于民，问计与民，广泛征询专家，普通老师和同学们对学校发展的意见和建议，此次座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言（1）求选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率；（2）若记选出的3名代表中专家的人数为，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率（2）由题意的可能取值为0，
26、1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和E【解答】解：（1）座谈会共邀请了50名代表参加，他们分别是专家20人，普通教师15人，学生15人，现从50名代表中随机选出3名做典型发言，选出的3名代表中，专家比普通教师多一人的概率：（2）由题意的可能取值为0，1，2，3，又，随机变量的分布列是0123PE=20在三棱锥PABC中，ABBC，平面PAB平面ABC，BC=2AB=1，PC=，PBA=（1）求证：BCPB；（2）求二面角APCB的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由已知推导出BC平面PAB，由此能证明BCPB（2）法一：以B为
27、原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角APCB的大小法二：作PQ直线AB于Q，则PO平面ABC，作AEPB于E，则AE平面PBC，AFE就是二面角APCB的平面角，由此能求出二面角APCB的大小【解答】证明：（1）平面PAB平面ABC，且ABBC，BC平面PAB，BCPB（2）解法一：如图，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，平面PAB平面ABC，点P在坐标平面yBz内，PC=，BC=1，BCPB，作PQ垂直于直线AB于Q，则，QB=1，P（0，1，1），设平面PB
28、C的法向量为，则，取y=1，得，设平面PAC的法向量=（abc），=（0，1），=（1，1，1），则，取a=1，得，=，由图知，二面角APCB是锐二面角，二面角APCB的大小是解：（2）解法二：作PQ直线AB于Q，则PQ平面ABC，PO=BO=1，如图，作AEPB于E，则AE平面PBC，AEPC，取PC中点F，连接AF，EF，AO=AB=，PO=BC=1，AFPC，PC平面AEF，PCEF，AFE就是二面角APCB的平面角，二面角APCB的大小是21已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合（1）求m的
29、取值范围；（2）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）联立方程中先求出A点坐标，联立方程组，由此利用根的判别式能求出m的取值范围（2）利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=2时，ABD的面积最大，最大值为（3）设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，推导出kAB+kAD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0【解答】解：（1）抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，由，得A点坐标为，联立方程组，A、B、D三点两两互不重合，=8m2+64
30、0，且m0，m的取值范围是（2）设B（x1，y1），D（x2，y2），|BD|=|x1x2|=，设d为点A到直线BD的距离，则，当且仅当m=2时取等号2（2，0）（0，2），当m=2时，ABD的面积最大，最大值为（3）证明：设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，则，将代入上式整理得kAB+kAD=0，直线AB、AD的斜率之和为定值022已知函数f（x）=axlnxx+1（a0）（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x（1，+），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当mn1时，mn1nm1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求
31、出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可；（3）问题转化为，设g（x）=，（x1），根据函数的单调性证出g（m）g（n），从而证出结论【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），当a=1时，f（x）=xlnxx+1，f（x）=lnx，令f（x）0，则x1；令f（x）0，则x1，f（x）在（0，1）单调递减，（1，+）单调递增，f（x）min=f（1）=0；（2）f（x）=alnx+a1，（x1），a=0时，f（x）=10，f（x）在（1，+）单调递减，f（x）f（1）=0恒成立与已知相矛盾，当a0时，由，由，f（x）的单调减区间是，单调增区间是当，即a1时，f（x）在（1，+）单调递增，f（x）f（1）=0恒成立当，即0a1时，f（x）在单调递减，在单调递增，存在，与已知相矛盾，综上：实数a的取值范围是1，+）（3）证明：mn1，要证：mn1nm1，只需证（n1）lnm（m1）lnn，只需证：设g（x）=，（x1），则由（1）知当a=1时，f（x）=xlnxx+1f（1）=0，x1xlnx0，g（x）0，g（x）在（1，+）上是减函数，而mn，g（m）g（n）， 故原不等式成立2016年9月12日
