1、高考资源网（） 您身边的高考专家33.3函数的最大(小)值与导数填一填1.最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值2一般地，如果在区间a，b上的函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是闭区间；(2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的3一般地，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与端点处的
2、函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.判一判1.若连续函数f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值()解析：函数f(x)在a，b上的极大值不一定是最大值，故错误2若连续函数f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值()解析：函数f(x)在a，b上的极小值不一定是最小值，故错误3若连续函数f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是xa和xb时取得()解析：函数f(x)在a，b上的极值不可能在区间端点处取得，故错误4若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值()解析：函数f(x)在a，b上必存在最大值和最小
3、值，故正确5若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值()解析：由极值与最值的概念可知正确，故正确6定义在闭区间a，b上的连续函数yf(x)有唯一的极小值点xx0，则函数f(x)有最小值f(x0)()解析：因为yf(x)有唯一的极小值点xx0，所以f(x)在(a，x0)上是减函数，在(x0，b)上是增函数，即xx0时函数取得最小值，故正确7定义在闭区间a，b上的连续函数yf(x)有唯一的极大值点xx0，则函数f(x)有最大值f(x0)()解析：因为yf(x)有唯一的极大值点xx0，所以f(x)在(a，x0)上是增函数，在(x0，b)上是减函数，即xx
4、0时函数取得最大值，故正确.想一想1.函数yf(x)在a，b上有最值需要什么样的条件？提示：如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值如果在开区间(a，b)上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么不一定有最值2函数yf(x)在区间上的最值在哪取得？提示：(1)函数yf(x)在区间上是单调函数则最值在区间端点取得，即函数yf(x)在区间上是单调增函数，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；函数yf(x)在区间上是单调减函数，则f(a)是最大值，f(b)是最小值(2)函数yf(x)在区间上有多个单调区间，则函数的最大值是极值点与区间端点处函数值中
5、最大的那个，函数的最小值是极值点与区间端点处函数值中最小的那个思考感悟：练一练1已知f(x)x2cos x，x1,1，则其导函数f(x)是()A仅有最小值的奇函数B既有最大值又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f(x)xsin x，显然f(x)是奇函数，令h(x)f(x)，则h(x)xsin x，求导得h(x)1cos x，当x1,1时，h(x)0，所以h(x)在1,1上单调递增，有最大值和最小值所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数故选D.答案：D2若函数f(x)x3x21，则()A最大值为1，最小值为B最大值为1，无最小值C最小值为，无最大
6、值D既无最大值也无最小值解析：f(x)3x23x3x(x1)，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得0x0x0，f(x)0x0，所以f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，从而函数f(x)exx在1,1上的最小值是f(0)e001.答案：14函数y的最大值为_解析：y，当0x0，当xe时，y0，f(x)在(，)上是增函数，f(x)在(，)上无最值答案：A知识点二求函数的最值3.函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是()A5，15 B5，4C4，15 D5，16解析：f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，则x2或x1(舍)又f(2)15，f(0
7、)5，f(3)4，故选A.答案：A4函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2 B3 C. D2解析：由f(x)0，得x1，且x(0,1时，f(x)0，x1时，f(x)最小，最小值为f(1)3.答案：B5函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为_解析：由题知f(x)x3x，则f(x)3x21，可得在区间上，f(x)0，f(x)为增函数，在上，f(x)1或x0，当1x1时，f(x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am.mn18a(2a)20.答案：20知识点三最值的
8、综合练习8.已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，1m，求m的最小值解析：(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0，)当a0时，易知faln 20时，f(x)1，当x(0，a)时，f(x)0，所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以f(x)minf(a)，因为f(1)0，所以a1.(2)由(1)知当x(1，)时，x1ln x0，即lnxx1.令x1，可得ln.所以lnlnln11，所以2，所以整数m的最小值为3.基础达标一、选择题1函数f(x)x24x1在1,5上的最大值和最小值是()Af(1)，f(3) Bf
9、(3)，f(5)Cf(1)，f(5) Df(5)，f(2)解析：f(x)2x4，令f(x)0，得x2.f(1)2，f(2)3，f(5)6.最大值为f(5)，最小值为f(2)答案：D2函数y在0,2上的最大值是()A当x1时，y B当x2时，yC当x0时，y0 D当x，y解析：y，令y0得x1.x0时，y0，x1时，y，x2时，y，最大值为 (x1时取得)答案：A3函数f(x)x2ln x的最小值为()A B.C D.解析：由题得x(0，)，f(x)2xln xxx(2ln x1)，令2ln x10解得xe，则当x(0，时f(x)为减函数，当x(，)时，f(x)为增函数，所以x点处的函数值为最小
10、值，代入函数解得f()，故选C.答案：C4已知函数f(x)ax3c，且f(1)6，函数在1,2上的最大值为20，则c的值为()A1 B4C1 D0解析：f(x)3ax2，f(1)3a6，a2.当x1,2时，f(x)6x20，即f(x)在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)223c20，c4.答案：B5函数f(x)(1x)ex有()A最大值为1 B最小值为1C最大值为e D最小值为e解析：f(x)ex(1x)exxex，当x0，当x0时，f(x)0，当x(1,0时，f(x)0所以f(x)在3，1)上单调递增，在(1,0上单调递减又f(3)17，f(1)3，f(0)1，所以函数f(x)x33x
11、1，x3,0的最大值，最小值分别是：3，17，故选A.答案：A7已知函数yx22x3在a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D或解析：y2x2，令y0，得x1.当a1时，最大值为f(1)4，不合题意当1a0得0x1，令f(x)0得x1，f(x)在(0,1上是增函数，在(1，e上是减函数当x1时，f(x)有最大值f(1)1.答案：19函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_解析：x，f(x)excos x0，f(0)f(x)f.即f(x)e答案：10设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_解析：f(x)1
12、8x26(a2)x2a.由已知有f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.(经检验满足题意)答案：911已知函数f(x)(m1)ex2(mR)有两个极值点，则实数m的取值范围为_解析：函数f(x)(m1)ex2(mR)，定义域为R，因为函数f(x)有两个极值点，所以f(x)x(m1)ex有两个不同的零点，故关于x的方程m1有两个不同的解，令g(x)，则g(x)，当x(，1)时，g(x)0，在区间(，1)上单调递增，当x(1，)时，g(x)0，在区间(1，)上单调递减，又当x时，g(x)；当x时，g(x)0，且g(1)，故0m1，所以1m1答案：12已知函数f(x)2sin xsin 2
13、x，则f(x)的最小值是_解析：f(x)2cos x2cos 2x4cos 2x2cos x24(cos x1)，所以当cos x时，函数单调递增，从而得到函数的减区间为(kZ)，函数的增区间为(kZ)，所以当x2k，kZ时，函数f(x)取得最小值，此时sin x，sin 2x，所以f(x)min2.答案：三、解答题13求下列各函数的最值(1)f(x)xsin x，x0,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解析：(1)f(x)cos x.令f(x)0，又0x2，x或x.f，f，又f(0)0，f(2).当x0时，f(x)有最小值f(0)0，当x2时，f(x)有最大值f(2).(2)f(x
14、)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故x1时，f(x)最小值12；x1时，f(x)最大值2.即f(x)在1,1上的最小值为12，最大值为2.14已知f(x)x3x2x3，x1,2，f(x)m0恒成立，求实数m的取值范围解析：由f(x)mf(x)恒成立，知mf(x)max，f(x)3x22x1，令f(x)0，解得x或x1.因为f，f(1)2，f(1)2，f(2)5.所以f(x)的最大值为5，故m的取值范围为(5，).能力提升15.若f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a、b的值解析：f(x)ax36ax2b，f(x)3ax212ax.令f(x)0，解得x0或4.4 1,2，故舍去，f(x)取最大值，最小值的点在x1、0、2上取得，f(1)7ab，f(0)b，f(2)16ab.当a0时，最大值为b3，最小值为16ab29，解得当a0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)- 9 - 版权所有高考资源网
