1、2.2 最大值、最小值问题 求极值的步骤：1.求导数；)(xf 2.解方程；0)(xf3.对于方程的每一个解，分析在左右两侧的符号，确定极值点：在两侧若的符号)(xf 0)(xf0 x0 x)(xf 0 x（1）“左正右负”，则为极大值点；0 x（2）“左负右正”，则为极小值点；0 x（3）相同，则不是极值点；0 x复习回顾极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内的性质，即：如果是的极大(小)值点，那么在附近找不到比更大(小)的值。但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往 往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值 最小。)(xfy 0 x)(0 xf0 x观察下面区间a,b上函数y=
2、f(x)的图象，找出它的极大值点，极小值点？oxdhfcaebgy极大值点，c e g极小值点dhf你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点：a，最小值点：d抽象概括：函数y=f(x)在区间a,b上的最大(小)值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过(不小于)。其中叫函数在这个区间上的最大(小)值。函数的最大值和最小值统称为最值。0 x)(0 xf)(0 xf问题1.函数的最值与极值有什么区别?oxdhfcaebgy（1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者。（2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间
3、的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的。极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得。注意：概括总结问题2.函数y=f(x)在区间a,b内的最大值和最小值可能在什么地方取到?oxyab)(xfy 最小值是f(b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间a,b上最大值是f(a),图1ox2xb4x1xa3x)(xfy 5xy最大值是f(x3),图2函数y=f(x)在区间a,b上最小值是f(x4).xyoa(b)0 x图3一般地，如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,最大(小)值在极大(小)值点或区
4、间的端点处取得。结论：怎样求函数y=f(x)在区间a,b内的最大值和最小值？只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较即可。例1 求函数在区间上的最值。52)(23xxxf2,2分析：最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所有的极大(小)值与端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值。20+004+-解：求导得xxxf43)(2 34,021xx令，得0)(xf5-11极大值极小值xyo-234通过比较可知：函数在区间上的52)(23xxxf2,2最大值是 f(2)=5；最小值是 f(-2)=-11；列表可知，是函数
5、的极大值点，是极小值点，计算极值和端点的函数值得0 x34x5)2(,11)2(,27103)34(,5)0(ffff求最值的步骤：（1）求 f(x)在(a，b)内的极值；（2）将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。概括总结例2 边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容器，其容积 V 是关于截去小正方形边长 x 的函数。（1）随 x 的变化，容积 V 如何变化？（2）截去小正方形边长为多少时，容积最大？最大容积是多少？分析：解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关系，要注意根据实际意义写
6、出定义域,再求最值。解：求导得24,0 xxxxfV2)248()(，2)248()248(4)(xxxxf)8)(24(12)48)(248(xxxx-6令，得0)(xf24,821xx+0极大值-vo248192x8分析可知，x=8 是极大值点，极大值为)(81928)1648()8(32cmVV=f(x)在上递增，在上递减。8,0()24,8由表知：（2）由函数的单调性和图像可知，x=8时最大值点，此时38192cmV=f(8)=即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容积为。38192cm练习：1.求函数在区间-3，3上的最值。3()12f xxx2.已知函数，（1）求f(x)单调减区间；（2）若f(x)在-2，2上的最大值是20，求它在该区间上的最小值。axxxy9323小结：若是在上的最大(小)值点，则不小(大)于在此区间上的所有函数值。)(xfy 0 x)(xfy ba,)(0 xf 函数的最大(小)值：求最值的步骤：（1）求 f(x)在(a，b)内的极值；（2）将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
