1、22.2双曲线的简单几何性质第二课时双曲线方程及性质的应用填一填1.直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l：ykxm(m0)双曲线C：1(a0，b0)把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；这两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0，b0)截直线x1所得线段的长度为b，则a等于.()解析：
2、将直线x1代入双曲线1可得yb，由题意可得，b2b，解得a.故正确4直线yx1与双曲线1相交于A，B两点，则|AB|4.()解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得得x24x80，有x1x24，x1x28，所以|AB|4.故错误.想一想1.当直线与双曲线只有一个公共点时，直线一定与双曲线相切吗？提示：不一定当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点2当直线的斜率不存在或斜率k0时，如何求弦长？提示：把直线方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求弦长思考感悟：练一练1已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A4 B3
3、C2 D1解析：双曲线方程为x21，故P(1,0)为双曲线右顶点，过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)答案：B2过双曲线x21的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：双曲线x21的右焦点为，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，代入双曲线方程x21可得y2，即|AB|4，满足条件当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y0k，代入双曲线方程x21，化简可得(2k2)x22k2x3k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，4，两边平方化简可得6k23，k，都
4、能满足判别式12k44(2k2)0，满足条件的且斜率存在的直线有2条综上，所有满足条件的直线共有3条故选C.答案：C3过点的直线l与双曲线C：y21有且只有一个公共点，这样的直线共有_条解析：设过点与双曲线y21有且只有一个公共点的直线l为ykx1，代入双曲线方程，消去y整理得x28kx80，14k20时，64k2320，k，14k20时，k，直线l与渐近线平行也成立故过点与双曲线y21有且只有一个公共点的直线有4条答案：44过双曲线x21的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则的长为_解析：因为双曲线方程为x21，所以左焦点F1(2,0)，因为直线AB的倾斜
5、角为，所以直线斜率为，直线AB的方程为y，代入x21可得8x24x130，x1x2，x1x2，所以3，故答案为3.答案：3知识点一直线与双曲线的交点问题1.过双曲线x2y21的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角的取值范围是()A0，) B.C. D.解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为yk(x)，与双曲线方程联立，消去y，可得(1k2)x22k2x2k210.x1x20，0，k21，即k1或k0，0，可得k1或k0，解得kR，由知k的取值范围是k1或k1.又当直线斜率不存在时也成立，所求倾斜角的取值范围是.故选C.答案：C2若直线ykx1与双曲线x2y24有两个公共点，则实数k的取值范
6、围是_解析：由得(1k2)x22kx50.(*)若直线与双曲线有两个公共点，则(*)式有两个不相等的实根所以解得k且k1.答案：k0，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得1，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(舍负)答案：D2设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过F作平行于双曲线的一条渐近线的直线，与双曲线相交于点B，则AFB的面积为()A15 B.C. D.解析：由题意得：c5，过F平行于一条渐近线方程为y(x5)，即4x3y200，由得yB.S(53).答案：B3如图
7、，双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为30的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x解析：设F1(c,0)，M(0，y0)，因为M为PF1中点，且PF1倾斜角为30，则P，将其代入双曲线方程得1，又有c2a2b2，整理得344240，解得22或2(舍去)故所求渐近线方程为yx.答案：C4已知双曲线C：x21，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有1个公共点，则满足上述条件的直线l的条数为()A1 B2C3 D4解析：由图数形结合，可得与渐近线平行的直线l有2条，与双曲线相切的
8、直线l有2条，所以满足条件的直线l共有4条答案：D5已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若ABF1是等腰三角形，A120.则ABF1的周长为()A2(1) B.4C.4 D.8解析：双曲线的焦点在x轴上，则a1,2a2；设|AF2|m，由双曲线的定义可知：|AF1|AF2|2am2，由题意可得：|AF1|AB|AF2|BF2|m|BF2|，据此可得：|BF2|2，又|BF1|BF2|2，|BF1|4，ABF1由正弦定理有：，则|BF1|AF1|，即：4(2m)，解得：m2，则ABF1的周长为：42(2m)424.故选C.答案：C6双曲线1(a0
9、，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意，得|F1F2|2c，|MF2|c，|MF1|c.由双曲线定义得|MF1|MF2|c2a，所以e.答案：B7已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c0)，则xAxBc，由1可得：y，不妨设：A，B，双曲线的一条渐近线方程为：bxay0
10、，据此可得：d1，d2，则d1d22b6，则b3，b29，双曲线的离心率：e2，据此可得：a23，则双曲线的方程为1.故选C.答案：C二、填空题8已知双曲线x21的离心率等于，直线ykx2与双曲线的左右两支各有一个交点，则k的取值范围是_解析：双曲线x21的离心率等于，a1，可得c，b1，双曲线x2y21，直线ykx2与双曲线联立可得x24kx50，直线ykx2与双曲线的左右两支各有一个交点，1k0，b0)的右焦点F为圆心，半径为的圆与C的一条渐近线相交于P，Q两点，若2(O为坐标原点)，且PF垂直于x轴，则双曲线C的标准方程为_解析：双曲线的右焦点F为(c,0)，渐近线为yx，由于PF垂直于
11、x轴，故P，即，.设Q(m，n)，由2得(2m，2n)，解得Q.又|QF|，由及c2a2b2，解得c26，a24，b22.故双曲线方程为1.答案：1三、解答题13已知直线ykx与双曲线4x2y216.当k为何值时，直线与双曲线：(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点解析：(1)由消y得(4k2)x2160当4k20，即k2，方程无解当4k20时，04(4k2)(16)64(4k2)当0，即2k2，方程有两解当0，即k2，方程无解当0，且4k20，k不存在综合上述：当2k0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B
12、(xB，yB)，将ykx代入y21，得：(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点.能力提升15.已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1,0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切解析： (1)依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明：设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，x1x
13、2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴，过A、B、D三点的圆与x轴相切16已知双曲线C：y21.(1)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且|AB|4，求实数m的值；(2)过点P(1,2)作直线l与双曲线C交于不同的两点M，N，若弦MN恰被点P平分，求直线l的方程解析：(1)分别设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)由消y可得，x24mx2(m21)0，x1x24m，x1x22(m21)，|x1x2|2(x1x2)24x1x216m28(m21)8(m21)，|AB|4，解得m2，(2)分别设M，N的坐标为(x3，y3)，(x4，y4)，可得yx1，yx1，两式相减，可得(y3y4)(y3y4)(x3x4)(x3x4)，由点P(1,2)为MN的中点，可得x3x42，y3y44，4(y3y4)2(x3x4)，kMN4，即直线l的方程为y24(x1)，即为4xy20.经检验满足题意
