1、专题 3 函数的周期性、对称性 1函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x 为偶函数，当01x，时，()12f xx=，若函数()()g xf xxb=恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（）A112244kkkz+，B152222kkkz+，C114444kkkz+，D1154444kkkz+，【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x 为偶函数，()(),(1)(1)fxf xfxf x=，(2)(1)1)()()f xfxfxf x=，即(2)(),(4)(2)()f xf xf xf xf x+=+=+=，()f x的周期为4.01x，时，()12f
2、xxx=，12,0,1,()()1,0()xfxxxf x=，()f xx=，(1)(1),()(2)fxf xf xfx=，()f x 周期为 4，()(2)(2)f xfxfx=+，当1,2,20,1,()(2)2xxf xfxx+=+=+，当2,3,2 1,0,()(2)2xxf xfxx+=+=，做出函数()f x 图像，如下图所示：令()()0g xf xxb=，当 1,0 x，()()0g xf xxbxxb=，xbx=，两边平方得22(21)0 xbxb+=，221(21)4410,4bbbb=+=+=，此时直线与()f x 在 1,0 x 函数图像相切，与函数有两个交点，同理1
3、54b=，直线与()f x 在4,5x函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数()f x 在1,4 内与直线 yxb=+只有一个交点，则b 满足15144b，()f x 周期为 4，b 范围也表示为 11544b，所以所有b 的取值范围是11544,44kbkkZ+在150,150上有且只有 150 个整数解，则实数 t 的取值范围是（）A120,e B1322,3ee C3123,2ee D112,2ee【解析】因为偶函数()f x 满足()()33fxfx+=，所以()()()6fxf xfx=，即()()6+fxf x=，所以函数()f x 是以 6 为周期的周期函数，当0,3x时，(
4、)2xf xxe=，所以()22xxfxe=（1-），当02x，函数()f x 递增；当23x时，()0fx在150,150上有且只有 150 个整数解，所以不等式()()20fxtf x在(3,3上有且只有 3 个整数解，当()0f x=时，不符合题意，故不等式()f xt在(3,3上有且只有 3 个整数解，因为()()1322133,fefe=，所以()()3311ffe=，即()()13ff在(3,3上的 3 个整数解分别为-2，2，3，所以，()()13fft，即32123tee.若1,xa b，22,0 x ，使得()()12f xg x=成立，则ba的最大值为（）A 12 B1 C
5、2 D2【解析】当)2,0 x 时，()(0,2g x，令22x=可得12x=.()()2f xf x=+，()f x 的周期为 2，所以()f x 在1，5的图象所示：结合题意，当17422a=+=，19422b=+=时，ba取得最大值.最大值为 1.故选：B.10定义在 R 上的奇函数()f x 满足()()2fxf x=，且在)0,1 上单调递减，若方程()1f x=在)0,1上有实数根，则方程()1f x=在区间1,11上所有实根之和是（）A30 B14 C12 D6【解析】由()()2fxf x=知函数()f x 的图象关于直线1x=对称，()()2fxf x=，()f x 是 R
6、上的奇函数，()()()2fxf xf x=+=，()()4f xf x+=，()f x 的周期为 4，考虑()f x 的一个周期，例如1,3，由()f x 在)0,1 上是减函数知()f x 在(1,2 上是增函数，()f x 在(1,0上是减函数，()f x 在)2,3 上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f=，()()()22200fff=，故当()0,1x时，()()00f xf=，当()1,2x时，()()20f xf=，当()2,3x时，()()20f xf=，方程()1f x=在)0,1 上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1 上是单调函数，则由于(
7、)()2fxf x=，故方程()1f x=在()1,2 上有唯一实数，在()1,0和()2,3 上()0f x，则方程()1f x=在()1,0和()2,3 上没有实数根，从而方程()1f x=在一个周期内有且仅有两个实数根，当1 3,x，方程()1f x=的两实数根之和为22xx+=，当1,11x，方程()1f x=的所有 6 个实数根之和为244282828282830 xxxxxx+=+=.故选：A.11已知()f x、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：当0 x 时，()0g x恒成立；Rx 都有()()g xgx=.()f x 满足：Rx 都有(1)(1)
8、f xf x+=；当 1,1x 时，3()33f xxx=.若关于 x 的不等式22 3()()3g f xg aa+对4 8,3 3x恒成立，则 a 的取值范围是（）AR B1,)+C0,1 D(,0 1,)+【解析】因为Rx 都有()()g xgx=，所以()g x 是偶函数，又当0 x 时，()0g x恒成立，所以()g x 在()0,+?上单调递增，所以22 3()()3g f xg aa+等价于22 3|()|3f xaa+，只需2max2 3|()|3f xaa+，4 8,3 3x.因为Rx 都有(1)(1)f xf x+=，即()(2)f xf x=+，所以()f x 是周期函数
9、，周期为 2，当()1,3x时，()21,1x ，所以()()()3()23232f xf xxx=，故4 8,3 3x时，()()3()3232f xxx=，求导得，()2()923fxx=，令()0fx=，解得134 82,33 3x=，238233x=+，当43,233x时，()0fx，此时()f x 单调递增；当3 82,33x时，()0fx，所以222 32 333aaaa+=+，则22 32 333aa+，解得1a 或0a.所以实数 a 的取值范围是(,01,)+.故选：D.二、多选题 12已知()f x 是定义域为(,)+的奇函数，(1)f x+是偶函数，且当(0,1x时，()(
10、2)f xx x=，则（）A()f x 是周期为 2 的函数 B()()201920201ff+=C()f x 的值域为1,1 D()yf x=在0,2 上有 4 个零点【解析】解：对于 A，()1f x+为偶函数，其图像关于 x 轴对称，把()1f x+的图像向右平移 1 个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x=对称，即(1)(1)fxfx+=，所以(2)()fxfx+=，()f x 为 R 上的奇函数，所以()()fxf x=，所以(2)()fxf x+=，用 2x+替换上式中的 x 得，(4)(2)fxf x+=+，所以，(4)()fxf x+=，则()f x 是周期
11、为 4 的周期函数.故 A 错误.对于 B，()f x 定义域为 R 的奇函数，则()00f=，()f x 是周期为 4 的周期函数，则()()202000ff=；当(0,1x时，()()2f xx x=，则()()111 21f=，则()()()()201912020111ffff=+=，则()()201920201ff+=.故 B 正确.对于 C，当(01x，时，()()2f xx x=，此时有()01f x，又由()f x 为 R 上的奇函数，则)1,0 x 时，()10fx，(0)0f=，函数关于1x=对称，所以函数()f x 的值域1,1.故 C 正确.对于 D，(0)0f=，且(0
12、,1x时，()()2f xx x=，0,1x，()(2)f xx x=，1,2x，20,1x，()(2)(2)f xfxx x=0,2x 时，()(2)f xx x=，此时函数的零点为 0，2；()f x是奇函数，2,0,()(2)xf xx x =+，(2,4x 时，()f x的周期为4，42,0 x ，()()()()424f xf xxx=，此时函数零点为 4；(4,6x 时，40,2x ，()()4(4)(6)f xf xxx=，此时函数零点为 6；(6,2x 时，(42,4x ，()()()()468f xf xxx=，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)上有 4 个零点.故 D
13、 正确；故选：BCD 13已知定义域为(0,)+的函数()f x 满足：对任何(0,)+，都有(3)3()fxf x=，且当(1,3x时，()3f xx=，在下列结论中，正确命题的序号是_ 对任何mZ，都有(3)0mf=；函数()f x 的值域是0,)+；存在 nZ，使得(31)17nf+=；“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条 件是“存在k Z，使得1(,)(3,3)kka b+”；【解析】对于，对任何(0,)+，都有(3)3()fxf x=，当(1,3x时，()3f xx=，所以()()()11133 3333(3)0mmmmffff=，正确；对于，取(mm 1x3,
14、3,(1,33mx+13,333333mmmmmxxxxfffx+=从而函数()f x 的值域为0，+），正确；对于，(1,3x时，()3f xx=，对任意(0,)x+，恒有(3)3()fxf x=成立，nZ，所以()11131313313217333nnnnnnnff+=+=+=解得2n=，正确；对于，充分性：令133kkab+则1333kkab 必要性：令0ab 即33kkabff，又当(1,3x时，()3f xx=，且()3f xx=为减函数，所以存在k Z，使得1333kkab，则133kkab+，所以(,)a b 1(3,3)kk+函数()f x 在区间(,)a b 1(3,3)kk
15、+上单调递减，正确；综上所述，正确结论的序号是 故答案为 14定义在()0,+上的函数()f x 满足：对()0,x+，都有()()22fxf x=，当(1,2x时，()2f xx=，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：_.对mZ，有()20mf=；函数()f x 的值域为)0,+；存在nZ，使得()219nf+=；【解析】因为()()()11222220mmmfff=,所以对;因为当(1,2x时，()20,1f xx=，当1,12x时，()()11220,22f xx=，当111,22kkx时，()()11220,22kkkf xx=，当(12,2kkx 时，()1111220,22kk
16、kf xx=，因此当k +时，112,02kk +，从而函数()f x 的值域为)0,+；所以对;因为349(2,2)，所以由上可得()112121?229,142nnkkfk+=,即 2210kn=，111122521,26knnk=无解.所以错；综上正确结论的序号是 15已知定义域为 R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为 3 的周期函数，当3(0,)2x时，()sinf xx=，则函数()f x 在区间0,6上的零点个数是_【解析】因为函数定义域为 R，周期为 3，所以 39(0)()()022fff=如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知 在0,6 上的零点为390,1,2,3
17、,4,5,622 所以共有 9 个零点 16已知定义域为 R 的奇函数()f x 满足()()13f xfx+=，当(0,2x时，()24f xx=+，则函数()()yf xa aR=在区间4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为_【解析】试题分析：由于定义域为 R 的奇函数()f x 满足()()13f xfx+=，()()()()()()()()()4484fxf xf xfxf xf xf xf xf x=+=+=+=+=，函数()f x 为周期函数，且周期为 8，当(0,2x时，()24f xx=+，函数()()yf xa aR=在区间4,8上的零点的个数，即为函数()yf x=与 y
18、a=的交点的个数，作出函数(),4,8yf xx=上的函数的图象，显然，当0a=时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为()420246814+=.17已知函数211,0()62ln,0axxf xxxx x+，若关于 x 的方程()()0f xfx+=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_.【解析】已知定义在()(),00,+上的函数211,0()62ln,0axxf xxxx x+若()()0f xfx+=在定义域上有四个不同的解 等价于21162ayxx=+关于原点对称的函数21162ayxx=+与函数 f(x)=lnx-x(x0)的图象有两个交点，联立可得211ln062a
19、xxxx+=有两个解，即2311ln62axxxxx=+可设()2311ln62g xxxxxx=+，则()21ln2232gxxxx=+，进而()120gxxx=+且不恒为零，可得()gx在()0,+单调递增.由()10g=可得 01x 时，()0,()g xg x时，()0,()g xg x 单调递增，即()g x 在1x=处取得极小值且为13 作出()yg x=的图象，可得103a时，211ln062axxxx+=有两个解.故答案为：1,03 18设函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有()()11f xf x=+，已知当0,1x时，11()2xf x=，则下列
20、命题：对任意 xR，都有()()2f xf x+=；函数()f x 在()1,2 上递减，在()2,3 上递增；函数()f x 的最大值是 1，最小值是 0；当()3,4x时，31()2xf x=.其中正确命题的序号有_.【解析】由题意，函数()f x 对任意的 xR 恒有()()11f xf x=+，可得()()2(1)1(1)1f xf f xfxf x+=+=+=，所以正确；由0,1x时，11()2xf x=为单调递增函数，因为函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，可得1,0 x 时，函数()f x 为单调递减函数，又由函数的周期为2，可得函数()f x 在()1,2 上递减，在()
21、2,3 上递增，所以正确；由可得，当2x=时，函数取得最小值，最小值为()()1202ff=；当3x=时，函数取得最大值，最大值为()()311ff=，根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为 12，所以不正确；当()3,4x时，则4(0,1)x，可得()()1(4)3114(2)()()()22xxfxfxfxf x=，所以正确.故答案为：.19已知数列na满足12a=，且32nnSan=+(其中nS 为数列na前n 项和)，()f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足(2)()fxf x=，则2021()f a=_.【解析】解：因为()f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足(2)
22、()fxf x=所以()()()2fxf xf x=+=，()()()42f xf xf x+=+=所以()f x 的最小正周期为4 又因为数列na满足12a=，且32nnSan=+；当2n 时，11312nnSan=+；减得133122nnnaaa=+，所以132nnaa=，()1311nnaa-=-所以1na 以 3 为首项，3为公比的等比数列，所以13nna =，即1 3nna=所以202120211 3a=又()()20212021202112020202134 141 41C=+所以20213被 4 除余3 所以()()()()()202120212021()1 3311 1200f
23、 afffff=故答案为：0 20给出定义：若1122MxM+（其中 M 为整数），则 M 叫做离实数 x 最近的整数，记作 xM=.在此基础上给出下列关于函数()f xxx=的四个结论：函数()yf x=的定义域为 R，值域为10,2；函数()yf x=的图象关于直线()2kxkZ=对称；函数()yf x=在1 1,2 2上是增函数；函数()yf x=是偶函数；其中正确结论的是_.（把正确的序号填在横线上）.【解析】因为 xM=，函数()f xxx=，所以()f xxM=当0M=时，()11,22f xxx=，当1M=时，()111,1122f xxx=+，当2M=时，()112,2222f xxx=+，当3M=时，()113,3322f xxx=+，函数图象如图所示：由图象可知：函数()yf x=的定义域为 R，值域为10,2，故正确；函数()yf x=的图象关于直线()2kxkZ=对称，故正确；函数()yf x=在1 1,2 2上不单调，故错误；其函数关于 y 轴对称，所以()yf x=是偶函数，故正确.故答案为：
