1、专题 11 零点嵌套问题 1 已 知 函 数2()()()f xaxlnx xlnxx=+有 三 个 不 同 的 零 点1x，2x，3x（其 中123)xxx，则2312123(1)(1)(1)lnxlnxlnxxxx的值为()A1a B1a C 1 D1【解析】解：令()0f x=，分离参数得xlnxaxlnxx=，令()xlnxh xxlnxx=，由22(1)(2)()0()lnxlnxxlnxh xxxlnx=，得1x=或 xe=当(0,1)x时，()0h x；当(,)xe+时，()0h x 即()h x 在(0,1)，(,)e+上为减函数，在(1,)e 上为增函数 12301xxex
2、，11xlnxlnxalnxxlnxxxx=，令lnxx=，则11a=，即2(1)10aa+=，1210a+=，1210a =，对于lnxx=，21lnxx=则当 0 xe；当 xe时，0 时，恒大于 0 画其简图，不妨设12，则111lnxx=，322323lnxlnxxx=，22312123123(1)(1)(1)(1)(1)(1)lnxlnxlnxxxx=2212(1)(1)1(1)(1)1aa=+=故选：D 2已知1x，2x，3x 是函数2()xf xaxlnxxlnx=+三个不同的零点，且123xxx，设1(1iiilnxMix=，2，3)，则2123(M M M=)A1 B 1 C
3、 e D 1e 【解析】解：令()0f x=得xlnxaxlnxx=，令 lnxtx=，则11xtxlnxt=，11att=即2(1)10tata+=令()lnxg xx=，则21()lnxg xx=，()g x在(0,)e 上单调递增，在(,)e+上单调递减，且当 01x 时，()0g x 时，()0g x，()g xg（e）1e=，当10te 时，关于 x 的方程()g xt=有两大于 1 的解，当0t时，关于 x 的方程()g xt=只有一小于 1 的解 当1te=时，关于 x 的方程()g xt=有唯一解 xe=()f x有三个不同的零点，关于t 的方程2(1)10tata+=在(，1
4、0 e和1(0,)e 上各有 1 个解 不妨设两解为 1t，2t，则 121tta+=，1 21t ta=，若1te=，则11eaee=，此时方程的另一解为1101etaee=，原方程只有两解，不符合题意；同理0t=也不符合题意；设 120tt，则111Mt=，2321MMt=，222212312121 2(1)(1)(1)1M M Mttttt t=+=故选：A 3已知函数2()()(1)()1xxf xxeaxea=+有三个不同的零点1x，2x，3x 其中123xxx，xtxe=是增函数，当(,1)x 时，0t，故3a ，不妨设方程的两个根分别为 1t，2t，若3a，与1220tte+，则
5、方程的两个根 1t，2t 一正一负；不妨设 120tt，结合xtxe=的性质可得，_111xx et=，_ 221xx et=，_ 332xx et=，故3122123(1)(1)(1)xxxx ex ex e 2112(1)(1)(1)ttt=2121 2(1()ttt t=+又1 21t ta=，121tta+=，31222123(1)(1)(1)(1 11)1xxxx ex ex eaa=+=故选：A 4已知函数2()()xxxaxf xaee=+有三个不同的零点1x，2x，3x（其中123)xxx，则1232312(1)(1)(1)xxxxxxeee的值为()A1 B 1 C a D
6、a 【解析】解：令()xxt xe=，则1xxte=，当1x，函数()t x 在(,1)单调递增，当1x 时，()0t x，在(1,)+单调递减，且()1()1t xte=极大值，由题意，2()g ttata=+必有两个根 10t，且210te，由根与系数的关系有，12tta+=，1 2t ta=，由图可知，1xxte=有一解10 x，2xxte=有两解2x，3x，且2301xx，故1232222231212212121 2(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()(1)1xxxxxxtttttttt taaeee=+=+=故选：A 5若关于 x 的方程0 xxxxemexe+=+
7、有三个不相等的实数解1x，2x，3x，且1230 xxx，其中 mR，e 为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)xxxxxxeee+的值为()A1m+B e C1m D1【解析】解：由方程0 xxxxemexe+=+101xxxmxee+=+，令xxte=，则有101tmt+=+2(1)10tmtm+=，令函数()xxg xe=，1()xxg xe=，()g x在(,1)递增，在(1,)+递减，其图象如下，要使关于 x 的方程0 xxxxemexe+=+有三个不相等的实数解1x，2x，3x，且1230 xxx 结合图象可得关于t 的方程2(1)10tmtm+=一定有两个实根 1t
8、，2t，12(0)tt 且111xxte=，23322xxxxtee=，1232312(1)(1)(1)xxxxxxeee+212(1)(1)tt=+121 212(1)(1)()1(1)(1)11ttt tttmm+=+=+=1232231212(1)(1)(1)(1)(1)1xxxxxxtteee+=+=故选：D 6若关于 x 的方程0 xxxxemexe+=有三个不相等的实数解1x，2x，3x，且1230 xxx，其中 mR，2.718e=为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)xxxxxxeee的值为()A e B1m C1m+D1【解析】解：由方程0 xxxxemexe+
9、=101xxxmxee+=，令xxte=，则有101tmt+=2(1)10tmtm+=，令函数()xxg xe=，1()xxg xe=，()g x在(,1)递增，在(1,)+递减，其图象如下，要使关于 x 的方程0 xxxxemexe+=有 3 个不相等的实数解1x，2x，3x，且1230 xxx 结合图象可得关于t 的方程2(1)10tmtm+=一定有两个实根 1t，2t，12(0)tt 且111xxte=，23223xxxxtee=1232231212(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxtteee=121 212(1)(1)()1(1)(1)11ttt tttmm=+=+=12322
10、31212(1)(1)(1)(1)(1)1xxxxxxtteee=故选：D 7若关于 x 的方程2|1|0|1|1xxeme+=+有三个不相等的实数解1x、2x、3x，123(0)xxx其中 mR，2.71828e=，则3122(|1|1)(|1|1)(|1|1)xxxeee+的值为()A e B4 C1m D1m+【解析】解：令|1|xte=，函数|1|xye=的图象如下：方程22|1|00|1|11xxemtmet+=+=+即2(1)20tmtm+=，要使方程2|1|0|1|1xxeme+=+有三个不相等的实数解1x、2x、3x，123(0)xxx，则方程2(1)20tmtm+=一定有两个
11、实根 1t，2t，可验证0t=或 1 不符合题意，所以方程2(1)20tmtm+=一定有两个实根 1t，2t，且1201tt，令()(2)f tte lnt=，(1)t，则2()1ef tlntt=+，212()0efttt=+，当te时，()f tf（e）0=，当1te 时，()f tf ，而1t 时，()0f t，则要满足102ea ，故选：D 9若存在正实数 m，使得关于 x 的方程(224)()0 xaxmex ln xmlnx+=成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是()A(,0)B1(0,)2e C1(,0),)2e+D 1,)2e+【解析】解：由(224)()
12、0 xaxmex ln xmlnx+=得 2(2)0 xmxa xmex lnx+=，即12(2)0 xmxmae lnxx+=，即设xmtx+=，则0t，则条件等价为12(2)0a te lnt+=，即1(2)2te lnta=有解，设()(2)g tte lnt=，2()1eg tlntt=+为增函数，g（e）211 120elnee=+=+=，当te时，()0g t，当 0te 时，()0g t，即当te=时，函数()g t 取得极小值为：g（e）(2)ee lnee=，即()g tg（e）e=，若1(2)2te lnta=有解，则12ea，即 12ea，则0a 或12ae，实数 a 的
13、取值范围是1(,0)2e，)+故选：C 10已知函数()(21)u xexm=，()()xln xmlnx=+若存在 m，使得关于 x 的方程 2()()a u xxx=有解，其中 e 为自然对数的底数则实数 a 的取值范围是()A1(,0)(,)2e+B(,0)C1(0,)2e D1(,0),)2e+【解析】解：由 2()()a u xxx=可得2(21)20 xmaexam lnxx+=，即 2(21)10mxmaelnxx+=，即 2(2)10 xmxmaelnxx+=，令 xmtx+=，则方程1(2)2et lnta=有解 设()(2)f tet lnt=，则22()1etef tln
14、tlnttt=+=+，显然()f t为减函数，又 f（e）0=，当 0te，当te时，()0f t，()f t在(0,)e 上单调递增，在(,)e+上单调递减，()f t的最大值为 f（e）e=，12ea，解得0a 或12ae 故选：D 11已知2()()()f xaxlnx xlnxx=+恰有三个不同零点，则 a 的取值范围为(1，11)(1)e e+【解析】解：令()0f x=，分离参数得xlnxaxlnxx=，令()xlnxh xxlnxx=，由22(1)(2)()0()lnxlnxxlnxh xxxlnx=，得1x=或 xe=当(0,1)x时，()0h x；当(,)xe+时，()0h
15、x 即()h x 在(0,1)，(,)e+上为减函数，在(1,)e 上为增函数 1x=时，()h x 有极小值 h（1）1=；xe=时，()h x 有极大值 h（e）11(1)e e=+；设lnxx=，则1，有1xyx=，当 01x，函数单调递增；当1x 时，0y，0lnxx，lnxx，即得1lnxx ；11()(1)1 21111h x=+=；当2()()()f xaxlnx xlnxx=+恰有三个不同零点，即 ya=与()yh x=有三个不同的交点；111(1)ae e +故答案为：(1，11)(1)e e+12 已 知 函 数2()xf xaxlnxxlnx=+有 三 个 不 同 的 零
16、 点1x，2x，3x（其 中123)xxx，则2312123(1)(1)(1)lnxlnxlnxxxx的值为 1 【解析】解：由2()0 xf xaxlnxxlnx=+=分离参数得xlnxaxlnxx=，令()xlnxh xxlnxx=，由222211(1)(2)()0()()lnxlnxlnxlnxxlnxh xxlnxxxxlnx=，得1x=或 xe=当(0,1)x时，()0h x；当(,)xe+时，()0h x 即()h x 在(0,1)，(,)e+上为减函数，在(1,)e 上为增函数 而当0 x，()h x +，当 x +，()1h x ，又 h（1）1=，h（e）11(1)e e=+；结合函数的单调性可得，实数 a 的取值范围为(1，11)(1)e e+则12301xxex，11xlnxlnxalnxxlnxxxx=，令lnxx=，则11a=，即2(1)10aa+=，1210a+=，1210a =，对于lnxx=，21lnxx=则当 0 xe；当 xe时，0 时，恒大于 0 画其简图，不妨设12，则31212123,lnxlnxlnxxxx=，22231212212123(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lnxlnxlnxxxx=2212121()1(1)(1)1aa=+=+=故答案为：1
