1、四川省乐山市2020届高三数学第一次调查研究考试试题 文(含解析)本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分.第一部分1至2页,第二部分3至4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷,草稿纸上答题无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共60分)注意事项:1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题,每小题5分,共60分.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A. B. C. D.
2、【答案】C【解析】【分析】根据集合的补运算和交运算,即可求得结果.【详解】由题知或,所以,故选:C.【点睛】本题考查二次不等式的解法,集合的运算,属于容易题.2.式子的值等于( )A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据余弦的倍角公式,结合诱导公式,即可化简.【详解】,故选:A.【点睛】本题考查诱导公式,余弦的倍角公式,属于容易题.3.已知,对应的复数为,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量减法坐标公式,解得坐标,再写出对应的复数和其共轭复数.【详解】由题可知,故对应的复数为,则,故选:D.【点睛】此题考查复平面内点对应的向量,以及共轭复数的概念,属于
3、容易题.4.在一次期末考试中,随机抽取200名学生的成绩,成绩全部在50分至100分之间,将成绩按如下方式分成5组:.据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在中的学生有( )A. 30名B. 40名C. 50名D. 60名【答案】B【解析】【分析】根据面积之和为1,计算出所在长方形的面积,即为频率,乘以样本容量即可.【详解】由题知,成绩在内的学生所占的频率为,所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有名,故选:B.【点睛】本题考查频率分布直方图的概念及应用,属于容易题.5.函数的零点之和为()A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A【解析】【分析】由
4、函数零点与方程的根的关系可得函数的零点即方程,的根,解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解:令,解得,令,解得,则函数的零点之和为,故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解,重点考查了对数的运算,属基础题.6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生,名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛,若满足约束条件,则该小组最多选拔学生( )A. 21名B. 16名C. 13名D. 11名【答案】B【解析】【分析】根据不等式组画出可行域,构造目标函数,数形结合即可求得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示:目标函数,求得,观察可知,当直线过点时,有最大值16,故选:B.【点睛】
5、本题考查线性规划的实际应用以及最优解,考查数形结合思想,属于中档题.7.函数的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据目标函数是奇函数,并且定义域为,据此判断.【详解】因为,所以函数是奇函数,根据奇函数图象的特点可以排除A、D,又因为函数的定义域是,排除C.故选:B.【点睛】此题考查函数的奇偶性,函数图象识别,属于中档题;一般地,我们从定义域,奇偶性,单调性以及特值得角度来判断.8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”
6、改为“剩余原壶中的酒量”,即输出值是输入值的,则输入的( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图,使得最后退出循环时,即可得解.【详解】时,;时,;时,;时,退出循环.此时,解得.故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确结论,属于基础题.9.已知三个数,则它们之间的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将数据与或者1比较大小,从而判断三个数据的大小关系.【详解】由题知,即,又因为,故;所以,故选:B.【点睛】此题考查指数、对数函数的基本性质,弧度制、三角函数的单调性,属于中档题.10.
7、已知单位向量分别与平面直角坐标系轴的正方向同向,且向量,则平面四边形的面积为()A. B. C. 10D. 20【答案】C【解析】分析】由已知可得,可得,可得平面四边形的面积【详解】由向量正交分解的定义可知,则,.因为,所以,所以平面四边形的对角线互相垂直,所以该四边形的面积为.故选:C.【点睛】本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算,考查推理能力与运算求解能力11.已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数使得函数,在区间单调递增;同时也要根据指数型复合函数的单调性,保证在区间上单调递增;最后再保证在
8、分割点处,使得的函数值小于等于的函数值即可.【详解】由题知,即;由得只需保证在上恒成立,则在上恒成立,即;又函数在上单调递增,则需满足,综上,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】此题考查分段函数的单调性,三次函数单调性,恒成立问题等,涉及导数的计算,属于较难题.12.已知,为图象的顶点,O,B,C,D为与x轴的交点,线段上有五个不同的点记,则的值为( )A. B. 45C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过分析几何关系,求出,再将表示成,结合向量的数量积公式求解即可【详解】解:由图中几何关系可知,,,,,即则,答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算,找出两组基底向量,是关键第二
9、部分(非选择题 共90分)注意事项:1.本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-23题为选考题,考生根据要求作答.2.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔画线,确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.3.本部分共10小题,共90分.二、填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分.13.命题“”的否定形式是_.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定的求解原则,直接得出结论.【详解】由题可知命题“”的否定形式是“”.故答案为:.【点睛】此题考查全称命题的否定的概念,属于容易题.1
10、4.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则 ;函数在处的导数 【答案】2 ;-2【解析】;15.如图,在单位圆中,为等边三角形,且,则_.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积,可求得,再利用角度关系,应用正弦的和角公式即可求得.【详解】记,.故答案为:.【点睛】本题考查三角形面积,单位圆的概念,角的分拆,和差角的三角函数,数形结合思想、逻辑推理能力等,属于中档题.16.已知中,角、对应的边分别为、,是上的三等分点(靠近点),且,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边,反凑余弦定理,求得角;再利用向量的定比分点,结合均值不等式求得最大值.【详解】由,结合正弦定理
11、得,整理得,得,可得;因为点是边上靠近点的三分点,则,故即,即,当且仅当时取等号,解得,即的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查正(余)弦定理,均值不等式的应用,逻辑推理能力等,属于较难题.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知是递增的等差数列,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和的最小值.【答案】(1);(2)-225.【解析】【分析】(1)巧用等差数列的下标和性质,再由等差数列的基本量,根据题意列方程组即可求得.(2)由(1)知,数列是等差数列,故直接用公式法求得,再求其最小值即可.【详解】(1)因为为等差数列,则,又
12、,故是方程的两根,是递增的等差数列,解得,则的公差,故.(2)由(1)知,因为,故数列是首项为-29,公差为2的等差数列,由公式可得,由二次函数的单调性,可得当时,的最小值为.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式,以及用公式法求解前项和,涉及其最小值的求解,属综合性基础题.18.在中,内角对应的边分别为,且满足.(1)求;(2)若,的面积为,求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边化角,即可得到,再根据同角三角函数关系求得,结合正弦的倍角公式即可求得;(2)利用(1)中结论,以及面积公式,即可得的一个方程;再根据余弦定理,得到的另一个方程,解方程组即可.【
13、详解】(1)由正弦定理可得:,故,又,所以,则.(2)由,又,可得.又,得,即,故.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角,同角三角函数关系,正弦的倍角公式,以及三角形面积公式,余弦定理解三角形,属综合性基础题.19.已知四棱锥中,侧面,是边长为2的正三角形,底面是菱形,点为的中点.(1)求证:(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)连结,交于,欲证,只需证即可,再由题意可证明;(2)由已知条件可得,再求出的体积即可得解.【详解】解:(1)连结,交于,由于底面为菱形,为中点又为的中点,又(2)过作,垂足为,由于为正三角形,为的中点,由于侧面,由面面垂直的性质得,
14、由,得,因为为的中点, 所以,故三棱锥的体积为.【点睛】本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法,重点考查了运算能力,属中档题.20.某校为了了解篮球运动是否与性别相关,在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生,调查的结果如下表:喜欢不喜欢总计女生8男生20总计(1)根据题意完成上面的列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关?(2)从女生中按喜欢篮球运动与否,用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查,从这5人中任选2人,求2人都喜欢篮球运动的概率.附:0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828.
15、【答案】(1)填表、分析见详解,能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关;(2).【解析】【分析】(1)根据男生和女生各有40个,即可得到表格中的所有数据,再根据表格数据,利用参考公式,计算,即可进行判断;(2)先根据分层抽样的等比例抽取的性质,计算出5人中喜欢篮球和不喜欢篮球的人;从而列举出所有从5人中抽取2人的可能性,再找出满足题意的可能性,用古典概型概率计算公式即可求得.【详解】(1)填表如下:喜欢不喜欢总计女生32840男生202040合计522880.所以能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关.(2)从女生中按喜欢篮球运动与否,用分层抽样
16、的方法抽取5人,则其中喜欢篮球运动的有(人),不喜欢篮球运动的有(人)设喜欢篮球运动的4人记为,不喜欢篮球运动的记为,则从这5人中任选2人的所有结果有:,共10种.其中恰好2人都喜欢篮球运动的有,共6种.所以从这5人中任选2人,2人都喜欢篮球运动的概率为.【点睛】本题考查的计算,以及古典概型的概率计算,涉及分层抽样的计算,属综合性中档题.21.已知函数.(1)若是函数的一个极值点,试讨论的单调性;(2)若在R上有且仅有一个零点,求的取值范围.【答案】(1)当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减;(2).【解析】【分析】(1)根据极值点处导数为零,计算出参数以及,再对求导,对参数进
17、行分类讨论,从而求得该函数的单调区间;(2)分离参数,构造函数,通过讨论构造的函数的单调性求得值域,即可求得参数的取值范围.【详解】(1),因为是函数的一个极值点,则,所以,则,当,当时,恒成立,在上单调递减,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.综上所述:当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)在上有且仅有一个零点,即方程有唯一的解,令,可得,由,得或,(1)当时,所以在上单调递减,所以,所以的取值范围为.(2)当时,所以在上单调递增,所以,即,故的取值范围为.(3)当时,所以在上单调递减,所以,即,即的取值范围为.所以,当或,即或时,在上有且只有一个零点,故的取值范围为
18、.【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论,以及利用导数研究由函数零点个数求参数范围的问题,涉及分离参数,构造函数的数学方法,属综合性中档题.请考生在第22-23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程;(2)若直线的极坐标方程为,直线与轴的交点为,与曲线相交于两点,求的值【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)先将和化为普通方程,可知是两个圆,由圆心的距离判断出两者相交,进而得相交直线的普通方程,再化成极坐标方程即可;(2)
19、先求出l的普通方程有,点,写出直线l的参数方程,代入曲线:,设交点两点的参数为,根据韦达定理可得和,进而求得的值【详解】(1) 曲线的普通方程为:曲线的普通方程为:,即由两圆心的距离,所以两圆相交,所以两方程相减可得交线为,即.所以直线的极坐标方程为.(2) 直线的直角坐标方程:,则与轴的交点为直线的参数方程为,带入曲线得.设两点的参数为,所以,所以,同号.所以【点睛】本题考查了极坐标,参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度,是常见考题23.已知x,y,z均为正数(1)若xy1,证明:|x+z|y+z|4xyz;(2)若,求2xy2yz2xz的最小值【答案】(1)证明见解析;(2)最小值为8【解析】【分析】(1)利用基本不等式可得 , 再根据0xy1时, 即可证明|x+z|y+z|4xyz.(2)由, 得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz3,从而求出2xy2yz2xz的最小值.【详解】(1)证明:x,y,z均为正数,|x+z|y+z|(x+z)(y+z),当且仅当xyz时取等号又0xy1,|x+z|y+z|4xyz;(2),即,当且仅当xyz1时取等号,xy+yz+xz3,2xy2yz2xz2xy+yz+xz8,2xy2yz2xz的最小值为8【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题