1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学 习 目 标 1掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算2会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直3能运用数量积的坐标求出两个向量夹角的余弦值知识点|平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P106P107，完成下列问题知识梳理1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和，即abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20点睛公式ab|a|b|cosa，b与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量
2、积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式ab|a|b|cosa，b求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式abx1x2y1y2求解2与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a(x，y)，则|a|.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .思考辨析判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y
3、20.()(3)若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()答案：(1)(2)(3)小试身手1已知a(3,4)，b(5,2)，则ab的值是()A23B7C23 D7答案：D2已知向量a(x5,3)，b(2，x)，且ab，则由x的值构成的集合是()A2,3 B1,6C2 D6答案：C3已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_答案：题型一向量数量积的坐标运算【例1】(1)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2,2)，若ABO90，则实数t的值为_解析(3,2t)，由题意知0，所以232(2t)0，所以t5.答案5(2)已知向量a(1,3)，b(2,5)，c
4、(2,1)，求：2a(ba)；(a2b)c.解解法一：2a2(1,3)(2,6)，ba(2,5)(1,3)(1,2)，2a(ba)(2,6)(1,2)216214.a2b(1,3)2(2,5)(1,3)(4,10)(5,13)，(a2b)c(5,13)(2,1)5213123.解法二：2a(ba)2ab2a22(1235)2(19)14.(a2b)cac2bc12312(2251)23.方 法 总 结数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据
5、已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0C1 D2解析：选Ca(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.故选C2在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5 B4C3 D2解析：选A由(1，2)(2,1)(3，1)，得(2,1)(3，1)5.故选A向量的模【例2】(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于()A BC D解析ab，1y2(2)0，解得y4，从而3ab(1,2)，|3
6、ab|.答案A(2)已知|a|2，b(2，3)，若ab，求ab的坐标及|ab|.解设a(x，y)，则由|a|2，得x2y252.由ab，得2x3y0.由，得或a(6,4)或a(6，4)ab(8,1)或ab(4，7)，|ab|.方 法 总 结求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算可直接利用公式求解.3已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2C8 D8解析：选D易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|8.故选D.4已知向量a(co
7、s ，sin )，向量b(3,0)，则|2ab|的最大值和最小值分别是()A4，0 B4,2C25,1 D5,1解析：选D由于|2ab|24|a|2|b|24ab1312cos ，又1cos 1，易知11312cos 25，故|2ab|的最大值和最小值分别是5,1，故选D.题型三向量的夹角与垂直多维探究常见的应用角度有：1求夹角2求参数值3已知夹角求参数范围角度1求夹角【例3】(2018陕西省宝鸡市检测)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150解析由ab10，得(cb)acabaca10，ca.设a与c的夹角为，则cos .
8、又0，180120.答案C角度2求参数值【例4】在PQR中，(2,3)，(1，k)，且PQR的一个内角为直角，求k的值解当P为直角时，PQPR，0，即23k0，k.当Q为直角时，QPQR，(2，3)，(1，k3)由0，得23(k3)0，k.当R为直角时，RPRQ，(1，k)，(1,3k)由0，得1k(3k)0，k.综上所述，k的值为或或或.角度3已知夹角求参数范围【例5】已知向量a(2，1)，b(，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数的取值范围解a与b的夹角为钝角，ab0，即(2，1)(，1)21.又当a与b反向时，夹角为180，即ab|a|b|，则21，解得2.由于a与b的夹角为钝角，故应排
9、除a与b反向共线的情况，即排除2，则实数的取值范围为(2，)方 法 总 结解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积ab以及|a|，|b|，再由cos ，求出cos ，也可由cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，所以利用cos 来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.1掌握3个公式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(2)坐标表示下的运算若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角
10、为，可由cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.2辨明1个易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或的特殊情况自测检评1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为()ABC2 D6解析：选Da(3，m)，b(2，1)，ab0，32m(1)0，m6.故选D.2若a(2,1)，b(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影为()A2 B2C D10解析：选B设a，b的夹角为，则|a|cos |a|2.故选B.3已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|()A BC5 D25解析：选C|ab|5，|ab|2a22abb25210b2(5)2，|b|5，故选C4(2019北京四中期中)已知向量a(3,1)，b，则下列向量与a2b垂直的是()Ac(1,2) Bc(2，1)Cc(4,2) Dc(4,2)解析：选C向量a(3,1)，b，a2b(3,1)(4,1)(1,2)，(1,2)(1,2)145，(1,2)(2，1)224，(1,2)(4,2)440，(1,2)(4,2)448.向量c(4,2)与a2b垂直，故选C5已知a(5,5)，b(0，3)，则a与b的夹角为()A BC D解析：选Dab15，|a|5，|b|3，cos (为a与b的夹角)，又0，.故选D.
